Theorem infdju1 9615

Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infdju1	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Proof of Theorem infdju1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difun2 4429	. . . . 5 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o)) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
2		df-dju 9330	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊔ 1o) = (({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o))
3		df1o2 8116	. . . . . . . 8 ⊢ 1o = {∅}
4	3	xpeq2i 5582	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × 1o) = ({1o} × {∅})
5		1oex 8110	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ V
6		0ex 5211	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ V
7	5, 6	xpsn 6903	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × {∅}) = {⟨1o, ∅⟩}
8	4, 7	eqtr2i 2845	. . . . . 6 ⊢ {⟨1o, ∅⟩} = ({1o} × 1o)
9	2, 8	difeq12i 4097	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ((({∅} × 𝐴) ∪ ({1o} × 1o)) ∖ ({1o} × 1o))
10		xp01disjl 8121	. . . . . 6 ⊢ (({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅
11		disj3 4403	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} × 𝐴) ∩ ({1o} × 1o)) = ∅ ↔ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o)))
12	10, 11	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ ({∅} × 𝐴) = (({∅} × 𝐴) ∖ ({1o} × 1o))
13	1, 9, 12	3eqtr4i 2854	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) = ({∅} × 𝐴)
14		reldom 8515	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
15	14	brrelex2i 5609	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
16		1on 8109	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ On
17		djudoml 9610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ On) → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
18	15, 16, 17	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
19		domtr 8562	. . . . . 6 ⊢ ((ω ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ (𝐴 ⊔ 1o)) → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
20	18, 19	mpdan 685	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o))
21		infdifsn 9120	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ (𝐴 ⊔ 1o) → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
22	20, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ((𝐴 ⊔ 1o) ∖ {⟨1o, ∅⟩}) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
23	13, 22	eqbrtrrid 5102	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ (𝐴 ⊔ 1o))
24	23	ensymd 8560	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴))
25		xpsnen2g 8610	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
26	6, 15, 25	sylancr 589	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴)
27		entr 8561	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≈ ({∅} × 𝐴) ∧ ({∅} × 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)
28	24, 26, 27	syl2anc 586	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 ⊔ 1o) ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∖ cdif 3933   ∪ cun 3934   ∩ cin 3935  ∅c0 4291  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5066   × cxp 5553  Oncon0 6191  ωcom 7580  1_oc1o 8095   ≈ cen 8506   ≼ cdom 8507   ⊔ cdju 9327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-1o 8102  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-dju 9330

This theorem is referenced by:  pwdjuidm  9617  isfin4p1  9737  canthp1lem2  10075