Theorem djulepw 9618

Description: If 𝐴 is idempotent under cardinal sum and 𝐵 is dominated by the power set of 𝐴, then so is the cardinal sum of 𝐴 and 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
djulepw	⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem djulepw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		djueq1 9334	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊔ 𝐵) = (∅ ⊔ 𝐵))
2	1	breq1d 5076	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → ((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴))
3		relen 8514	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≈
4	3	brrelex2i 5609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ V)
6		canth2g 8671	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 ≺ 𝒫 𝐴)
7		sdomdom 8537	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≺ 𝒫 𝐴 → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
8	5, 6, 7	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐴)
9		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
10		reldom 8515	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ≼
11	10	brrelex1i 5608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ V)
12		djudom1 9608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
13	11, 12	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵))
14		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴)
15	10	brrelex2i 5609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
16		djudom2 9609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc2 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
18		domtr 8562	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
19	13, 17, 18	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
20	8, 9, 19	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴))
21		pwdju1 9616	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
22	5, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
23		domentr 8568	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ∧ (𝒫 𝐴 ⊔ 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o)) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
24	20, 22, 23	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
25	24	adantr 483	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o))
26		0sdomg 8646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
27	5, 26	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
28	27	biimpar 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∅ ≺ 𝐴)
29		0sdom1dom 8716	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1o ≼ 𝐴)
30	28, 29	sylib 220	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 1o ≼ 𝐴)
31	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
32		djudom2 9609	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
33	30, 31, 32	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴))
34		simpll 765	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴)
35		domentr 8568	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊔ 1o) ≼ (𝐴 ⊔ 𝐴) ∧ (𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
36	33, 34, 35	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴)
37		pwdom 8669	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
38	36, 37	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴)
39		domtr 8562	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 ⊔ 1o) ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
40	25, 38, 39	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
41		0ex 5211	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
42	11	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
43		djucomen 9603	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
44	41, 42, 43	sylancr 589	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅))
45		dju0en 9601	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵)
46		domen1 8659	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊔ ∅) ≈ 𝐵 → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
47	42, 45, 46	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → ((𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴))
48	9, 47	mpbird 259	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴)
49		endomtr 8567	. . 3 ⊢ (((∅ ⊔ 𝐵) ≈ (𝐵 ⊔ ∅) ∧ (𝐵 ⊔ ∅) ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
50	44, 48, 49	syl2anc 586	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (∅ ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)
51	2, 40, 50	pm2.61ne 3102	1 ⊢ (((𝐴 ⊔ 𝐴) ≈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≼ 𝒫 𝐴) → (𝐴 ⊔ 𝐵) ≼ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3494  ∅c0 4291  𝒫 cpw 4539   class class class wbr 5066  1_oc1o 8095   ≈ cen 8506   ≼ cdom 8507   ≺ csdm 8508   ⊔ cdju 9327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-1o 8102  df-2o 8103  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-dju 9330

This theorem is referenced by:  gchdomtri  10051