MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efgcpbl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efgcpbl2 18370
Description: Two extension sequences have related endpoints iff they have the same base. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
efgval.r = ( ~FG𝐼)
efgval2.m 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
efgval2.t 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
efgred.d 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
efgred.s 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
Assertion
Ref Expression
efgcpbl2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧   𝑡,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑚,𝑥   𝑚,𝑀   𝑥,𝑛,𝑀,𝑡,𝑣,𝑤   𝑘,𝑚,𝑡,𝑥,𝑇   𝑘,𝑛,𝑣,𝑤,𝑦,𝑧,𝑊,𝑚,𝑡,𝑥   ,𝑚,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐼,𝑛,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝐷,𝑚,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   (𝑤,𝑣,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐼(𝑘)   𝑀(𝑦,𝑧,𝑘)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑌(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑡,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem efgcpbl2
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . 4 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2𝑜))
2 efgval.r . . . 4 = ( ~FG𝐼)
31, 2efger 18331 . . 3 Er 𝑊
43a1i 11 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → Er 𝑊)
5 simpl 474 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 𝑋)
64, 5ercl 7922 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴𝑊)
7 wrd0 13516 . . . . 5 ∅ ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)
81efgrcl 18328 . . . . . . 7 (𝐴𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
96, 8syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜)))
109simprd 482 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑊 = Word (𝐼 × 2𝑜))
117, 10syl5eleqr 2846 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ∅ ∈ 𝑊)
12 simpr 479 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 𝑌)
13 efgval2.m . . . . 5 𝑀 = (𝑦𝐼, 𝑧 ∈ 2𝑜 ↦ ⟨𝑦, (1𝑜𝑧)⟩)
14 efgval2.t . . . . 5 𝑇 = (𝑣𝑊 ↦ (𝑛 ∈ (0...(♯‘𝑣)), 𝑤 ∈ (𝐼 × 2𝑜) ↦ (𝑣 splice ⟨𝑛, 𝑛, ⟨“𝑤(𝑀𝑤)”⟩⟩)))
15 efgred.d . . . . 5 𝐷 = (𝑊 𝑥𝑊 ran (𝑇𝑥))
16 efgred.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ {𝑡 ∈ (Word 𝑊 ∖ {∅}) ∣ ((𝑡‘0) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑘 ∈ (1..^(♯‘𝑡))(𝑡𝑘) ∈ ran (𝑇‘(𝑡‘(𝑘 − 1))))} ↦ (𝑚‘((♯‘𝑚) − 1)))
171, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 18369 . . . 4 ((𝐴𝑊 ∧ ∅ ∈ 𝑊𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
186, 11, 12, 17syl3anc 1477 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅))
196, 10eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
204, 12ercl 7922 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵𝑊)
2120, 10eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
22 ccatcl 13546 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝐵 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
2319, 21, 22syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
24 ccatrid 13559 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
2523, 24syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝐵))
264, 12ercl2 7924 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌𝑊)
2726, 10eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
28 ccatcl 13546 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) ∧ 𝑌 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜)) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
2919, 27, 28syl2anc 696 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
30 ccatrid 13559 . . . 4 ((𝐴 ++ 𝑌) ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3129, 30syl 17 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((𝐴 ++ 𝑌) ++ ∅) = (𝐴 ++ 𝑌))
3218, 25, 313brtr3d 4835 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝐴 ++ 𝑌))
331, 2, 13, 14, 15, 16efgcpbl 18369 . . . 4 ((∅ ∈ 𝑊𝑌𝑊𝐴 𝑋) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
3411, 26, 5, 33syl3anc 1477 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌))
35 ccatlid 13558 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3619, 35syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝐴) = 𝐴)
3736oveq1d 6828 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝐴) ++ 𝑌) = (𝐴 ++ 𝑌))
384, 5ercl2 7924 . . . . . 6 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋𝑊)
3938, 10eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → 𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜))
40 ccatlid 13558 . . . . 5 (𝑋 ∈ Word (𝐼 × 2𝑜) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4139, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (∅ ++ 𝑋) = 𝑋)
4241oveq1d 6828 . . 3 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → ((∅ ++ 𝑋) ++ 𝑌) = (𝑋 ++ 𝑌))
4334, 37, 423brtr3d 4835 . 2 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝑌) (𝑋 ++ 𝑌))
444, 32, 43ertrd 7927 1 ((𝐴 𝑋𝐵 𝑌) → (𝐴 ++ 𝐵) (𝑋 ++ 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  c0 4058  {csn 4321  cop 4327  cotp 4329   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  1𝑜c1o 7722  2𝑜c2o 7723   Er wer 7908  0cc0 10128  1c1 10129  cmin 10458  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479   splice csplice 13482  ⟨“cs2 13786   ~FG cefg 18319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-ot 4330  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ec 7913  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489  df-splice 13490  df-s2 13793  df-efg 18322
This theorem is referenced by:  frgpcpbl  18372
  Copyright terms: Public domain W3C validator