MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrd0 13131
Description: The empty set is a word (the empty word, frequently denoted ε in this context). This corresponds to the definition in section 9.1 of [AhoHopUll] p. 318. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrd0 ∅ ∈ Word 𝑆

Proof of Theorem wrd0
StepHypRef Expression
1 f0 5984 . 2 ∅:∅⟶𝑆
2 iswrddm0 13130 . 2 (∅:∅⟶𝑆 → ∅ ∈ Word 𝑆)
31, 2ax-mp 5 1 ∅ ∈ Word 𝑆
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  c0 3873  wf 5786  Word cword 13092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-word 13100
This theorem is referenced by:  0wrd0  13132  lsw0g  13152  ccatlid  13168  ccatrid  13169  swrdcl  13217  rev0  13310  cshword  13334  cshwcl  13341  gsumwspan  17152  frmdmnd  17165  frmd0  17166  frmdsssubm  17167  frmdup1  17170  psgnunilem2  17684  psgn0fv0  17700  psgnsn  17709  psgnprfval1  17711  efginvrel2  17909  efgredleme  17925  efgcpbllemb  17937  efgcpbl2  17939  frgp0  17942  frgpnabllem1  18045  pgpfaclem3  18251  0wlk  25841  0trl  25842  konigsberg  26280  signsvf0  29789  mrsub0  30473  elmrsubrn  30477  pfxcl  40047  cshword2  40098  0ewlk  41277  01wlk  41279  konigsberglem1  41417  konigsberglem2  41418  konigsberglem3  41419
  Copyright terms: Public domain W3C validator