Theorem efgrcl 18841

Description: Lemma for efgval 18843. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
efgval.w	⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))

Assertion

Ref	Expression
efgrcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))

Proof of Theorem efgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on0 8113	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∅
2		dmxp 5799	. . . 4 ⊢ (2o ≠ ∅ → dom (𝐼 × 2o) = 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ dom (𝐼 × 2o) = 𝐼
4		elfvex 6703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
5		efgval.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ( I ‘Word (𝐼 × 2o))
6	4, 5	eleq2s 2931	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
7		wrdexb 13874	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 × 2o) ∈ V ↔ Word (𝐼 × 2o) ∈ V)
8	6, 7	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 × 2o) ∈ V)
9	8	dmexd 7615	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → dom (𝐼 × 2o) ∈ V)
10	3, 9	eqeltrrid 2918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
11		fvi 6740	. . . 4 ⊢ (Word (𝐼 × 2o) ∈ V → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
12	6, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → ( I ‘Word (𝐼 × 2o)) = Word (𝐼 × 2o))
13	5, 12	syl5eq 2868	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → 𝑊 = Word (𝐼 × 2o))
14	10, 13	jca 514	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑊 = Word (𝐼 × 2o)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  Vcvv 3494  ∅c0 4291   I cid 5459   × cxp 5553  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  2_oc2o 8096  Word cword 13862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-2o 8103  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-word 13863

This theorem is referenced by:  efglem  18842  efgval  18843  efgtf  18848  efginvrel2  18853  efginvrel1  18854  efgredlemc  18871  efgcpbllemb  18881  efgcpbl2  18883  frgpcpbl  18885  frgpeccl  18887  frgpadd  18889  frgpinv  18890  frgpuplem  18898  frgpup1  18901  frgpnabllem1  18993