Theorem eupthvdres 26961

Description: Formerly part of proof of eupth2 26965: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eupthvdres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
eupthvdres.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h	⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩

Assertion

Ref	Expression
eupthvdres	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eupthvdres.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑊)
2		eupthvdres.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
3		opex 4893	. . . 4 ⊢ ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩ ∈ V
4	2, 3	eqeltri 2694	. . 3 ⊢ 𝐻 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
6	2	fveq2i 6151	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
7		eupthvdres.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8		fvex 6158	. . . . . . . 8 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
9	7, 8	eqeltri 2694	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 ∈ V
10		eupthvdres.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
11		fvex 6158	. . . . . . . . 9 ⊢ (iEdg‘𝐺) ∈ V
12	10, 11	eqeltri 2694	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 ∈ V
13	12	resex 5402	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V
14	9, 13	pm3.2i 471	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V)
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V))
16		opvtxfv 25784	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
17	15, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
18	6, 17	syl5eq 2667	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
19	18, 7	syl6eq 2671	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
20	2	fveq2i 6151	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
21		opiedgfv 25787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
22	15, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
23	20, 22	syl5eq 2667	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
24		eupthvdres.p	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
25	10	eupthf1o 26930	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
27		f1ofo 6101	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
28		foima 6077	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
29	26, 27, 28	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
30	29	reseq2d 5356	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
31		eupthvdres.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
32		funfn 5877	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐼 ↔ 𝐼 Fn dom 𝐼)
33	31, 32	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 Fn dom 𝐼)
34		fnresdm 5958	. . . . 5 ⊢ (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
35	33, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
36	23, 30, 35	3eqtrd 2659	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
37	36, 10	syl6eq 2671	. 2 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
38	1, 5, 19, 37	vtxdeqd 26259	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613  dom cdm 5074   ↾ cres 5076   “ cima 5077  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  –onto→wfo 5845  –1-1-onto→wf1o 5846  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775  VtxDegcvtxdg 26248  EulerPathsceupth 26923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-vtxdg 26249  df-wlks 26365  df-trls 26458  df-eupth 26924

This theorem is referenced by:  eupth2  26965