MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthvdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthvdres 27942
Description: Formerly part of proof of eupth2 27946: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthvdres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g (𝜑𝐺𝑊)
eupthvdres.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩
Assertion
Ref Expression
eupthvdres (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres
StepHypRef Expression
1 eupthvdres.g . 2 (𝜑𝐺𝑊)
2 eupthvdres.h . . . 4 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩
3 opex 5348 . . . 4 𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩ ∈ V
42, 3eqeltri 2909 . . 3 𝐻 ∈ V
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
62fveq2i 6667 . . . 4 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
7 eupthvdres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
87fvexi 6678 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
9 eupthvdres.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
109fvexi 6678 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
1110resex 5893 . . . . . . 7 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V
128, 11pm3.2i 471 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V)
1312a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V))
14 opvtxfv 26717 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
1513, 14syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
166, 15syl5eq 2868 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
1716, 7syl6eq 2872 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
182fveq2i 6667 . . . . 5 (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩)
19 opiedgfv 26720 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
2013, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
2118, 20syl5eq 2868 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))))
22 eupthvdres.p . . . . . . 7 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
239eupthf1o 27911 . . . . . . 7 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
25 f1ofo 6616 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
26 foima 6589 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
2724, 25, 263syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹))) = dom 𝐼)
2827reseq2d 5847 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(♯‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
29 eupthvdres.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
3029funfnd 6380 . . . . 5 (𝜑𝐼 Fn dom 𝐼)
31 fnresdm 6460 . . . . 5 (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3321, 28, 323eqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
3433, 9syl6eq 2872 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
351, 5, 17, 34vtxdeqd 27187 1 (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3495  cop 4565   class class class wbr 5058  dom cdm 5549  cres 5551  cima 5552  Fun wfun 6343   Fn wfn 6344  ontowfo 6347  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  (class class class)co 7145  0cc0 10526  ..^cfzo 13023  chash 13680  Vtxcvtx 26709  iEdgciedg 26710  VtxDegcvtxdg 27175  EulerPathsceupth 27904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-ifp 1055  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-vtx 26711  df-iedg 26712  df-vtxdg 27176  df-wlks 27309  df-trls 27402  df-eupth 27905
This theorem is referenced by:  eupth2  27946
  Copyright terms: Public domain W3C validator