MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupthvdres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eupthvdres 26961
Description: Formerly part of proof of eupth2 26965: The vertex degree remains the same for all vertices if the edges are restricted to the edges of an Eulerian path. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.) (Revised by AV, 26-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eupthvdres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eupthvdres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eupthvdres.g (𝜑𝐺𝑊)
eupthvdres.f (𝜑 → Fun 𝐼)
eupthvdres.p (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
eupthvdres.h 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
Assertion
Ref Expression
eupthvdres (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))

Proof of Theorem eupthvdres
StepHypRef Expression
1 eupthvdres.g . 2 (𝜑𝐺𝑊)
2 eupthvdres.h . . . 4 𝐻 = ⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩
3 opex 4893 . . . 4 𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩ ∈ V
42, 3eqeltri 2694 . . 3 𝐻 ∈ V
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
62fveq2i 6151 . . . 4 (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
7 eupthvdres.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 fvex 6158 . . . . . . . 8 (Vtx‘𝐺) ∈ V
97, 8eqeltri 2694 . . . . . . 7 𝑉 ∈ V
10 eupthvdres.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
11 fvex 6158 . . . . . . . . 9 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1210, 11eqeltri 2694 . . . . . . . 8 𝐼 ∈ V
1312resex 5402 . . . . . . 7 (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V
149, 13pm3.2i 471 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V)
1514a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V))
16 opvtxfv 25784 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
1715, 16syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = 𝑉)
186, 17syl5eq 2667 . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = 𝑉)
1918, 7syl6eq 2671 . 2 (𝜑 → (Vtx‘𝐻) = (Vtx‘𝐺))
202fveq2i 6151 . . . . 5 (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩)
21 opiedgfv 25787 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
2215, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))))⟩) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
2320, 22syl5eq 2667 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))))
24 eupthvdres.p . . . . . . 7 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
2510eupthf1o 26930 . . . . . . 7 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
27 f1ofo 6101 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼)
28 foima 6077 . . . . . 6 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
2926, 27, 283syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹))) = dom 𝐼)
3029reseq2d 5356 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^(#‘𝐹)))) = (𝐼 ↾ dom 𝐼))
31 eupthvdres.f . . . . . 6 (𝜑 → Fun 𝐼)
32 funfn 5877 . . . . . 6 (Fun 𝐼𝐼 Fn dom 𝐼)
3331, 32sylib 208 . . . . 5 (𝜑𝐼 Fn dom 𝐼)
34 fnresdm 5958 . . . . 5 (𝐼 Fn dom 𝐼 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3533, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ↾ dom 𝐼) = 𝐼)
3623, 30, 353eqtrd 2659 . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = 𝐼)
3736, 10syl6eq 2671 . 2 (𝜑 → (iEdg‘𝐻) = (iEdg‘𝐺))
381, 5, 19, 37vtxdeqd 26259 1 (𝜑 → (VtxDeg‘𝐻) = (VtxDeg‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cop 4154   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cres 5076  cima 5077  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  ontowfo 5845  1-1-ontowf1o 5846  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Vtxcvtx 25774  iEdgciedg 25775  VtxDegcvtxdg 26248  EulerPathsceupth 26923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1012  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-vtxdg 26249  df-wlks 26365  df-trls 26458  df-eupth 26924
This theorem is referenced by:  eupth2  26965
  Copyright terms: Public domain W3C validator