Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fct2relem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fct2relem 30984
Description: Lemma for ftc2re 30985. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2re.e 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a (𝜑𝐴𝐸)
ftc2re.b (𝜑𝐵𝐸)
Assertion
Ref Expression
fct2relem (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)

Proof of Theorem fct2relem
StepHypRef Expression
1 ftc2re.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐸)
2 ftc2re.e . . . . . 6 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
31, 2syl6eleq 2849 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷))
4 eliooxr 12425 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*))
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*))
65simpld 477 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
75simprd 482 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ*)
8 eliooord 12426 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐷))
93, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < 𝐴𝐴 < 𝐷))
109simpld 477 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐴)
11 ftc2re.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐸)
1211, 2syl6eleq 2849 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷))
13 eliooord 12426 . . . . 5 (𝐵 ∈ (𝐶(,)𝐷) → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐷))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐷))
1514simprd 482 . . 3 (𝜑𝐵 < 𝐷)
16 iccssioo 12435 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ*) ∧ (𝐶 < 𝐴𝐵 < 𝐷)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
176, 7, 10, 15, 16syl22anc 1478 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐶(,)𝐷))
1817, 2syl6sseqr 3793 1 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  *cxr 10265   < clt 10266  (,)cioo 12368  [,]cicc 12371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-ioo 12372  df-icc 12375
This theorem is referenced by:  ftc2re  30985  fdvposlt  30986  fdvneggt  30987  fdvposle  30988  fdvnegge  30989  logdivsqrle  31037
  Copyright terms: Public domain W3C validator