Theorem finxp3o 34684

Description: The value of Cartesian exponentiation at three. (Contributed by ML, 24-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
finxp3o	⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Proof of Theorem finxp3o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3o 8104	. . 3 ⊢ 3o = suc 2o
2		finxpeq2 34671	. . 3 ⊢ (3o = suc 2o → (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑈↑↑3o) = (𝑈↑↑suc 2o)
4		2onn 8266	. . 3 ⊢ 2o ∈ ω
5		2on0 8113	. . 3 ⊢ 2o ≠ ∅
6		finxpsuc 34682	. . 3 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 2o ≠ ∅) → (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈))
7	4, 5, 6	mp2an 690	. 2 ⊢ (𝑈↑↑suc 2o) = ((𝑈↑↑2o) × 𝑈)
8		finxp2o 34683	. . 3 ⊢ (𝑈↑↑2o) = (𝑈 × 𝑈)
9	8	xpeq1i 5581	. 2 ⊢ ((𝑈↑↑2o) × 𝑈) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)
10	3, 7, 9	3eqtri 2848	1 ⊢ (𝑈↑↑3o) = ((𝑈 × 𝑈) × 𝑈)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∅c0 4291   × cxp 5553  suc csuc 6193  ωcom 7580  2_oc2o 8096  3_oc3o 8097  ↑↑cfinxp 34667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-3o 8104  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-finxp 34668

This theorem is referenced by: (None)