MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmcfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmcfil 23010
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables 𝑢 𝑠 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6187 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
2 fmval 21687 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
31, 2syl3an1 1356 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) = (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))))
43eleq1d 2683 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷)))
5 simp1 1059 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
6 simp2 1060 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌))
7 simp3 1061 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝐹:𝑌𝑋)
813ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
9 eqid 2621 . . . . 5 ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) = ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
109fbasrn 21628 . . . 4 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋𝑋 ∈ dom ∞Met) → ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
116, 7, 8, 10syl3anc 1323 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋))
12 fgcfil 23009 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) ∈ (fBas‘𝑋)) → ((𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
135, 11, 12syl2anc 692 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ((𝑋filGenran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
14 imassrn 5446 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) ⊆ ran 𝐹
15 frn 6020 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑌𝑋 → ran 𝐹𝑋)
16153ad2ant3 1082 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ran 𝐹𝑋)
1714, 16syl5ss 3599 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑋)
188, 17ssexd 4775 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (𝐹𝑦) ∈ V)
1918ralrimivw 2963 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → ∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ V)
20 eqid 2621 . . . . . 6 (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦)) = (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))
21 raleq 3131 . . . . . . 7 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (∀𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2221raleqbi1dv 3139 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐹𝑦) → (∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2320, 22rexrnmpt 6335 . . . . 5 (∀𝑦𝐵 (𝐹𝑦) ∈ V → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
2419, 23syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥))
25 simpl3 1064 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹:𝑌𝑋)
26 ffn 6012 . . . . . . . 8 (𝐹:𝑌𝑋𝐹 Fn 𝑌)
2725, 26syl 17 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝐹 Fn 𝑌)
28 fbelss 21577 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝑌)
296, 28sylan 488 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝑌)
30 oveq1 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (𝑢𝐷𝑣) = ((𝐹𝑧)𝐷𝑣))
3130breq1d 4633 . . . . . . . . 9 (𝑢 = (𝐹𝑧) → ((𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3231ralbidv 2982 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝐹𝑧) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3332ralima 6463 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
3427, 29, 33syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥))
35 oveq2 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = (𝐹𝑤) → ((𝐹𝑧)𝐷𝑣) = ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)))
3635breq1d 4633 . . . . . . . . 9 (𝑣 = (𝐹𝑤) → (((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3736ralima 6463 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝑌𝑦𝑌) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3827, 29, 37syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
3938ralbidv 2982 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑧𝑦𝑣 ∈ (𝐹𝑦)((𝐹𝑧)𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4034, 39bitrd 268 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) ∧ 𝑦𝐵) → (∀𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4140rexbidva 3044 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑦𝐵𝑢 ∈ (𝐹𝑦)∀𝑣 ∈ (𝐹𝑦)(𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4224, 41bitrd 268 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∃𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
4342ralbidv 2982 . 2 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ran (𝑦𝐵 ↦ (𝐹𝑦))∀𝑢𝑠𝑣𝑠 (𝑢𝐷𝑣) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
444, 13, 433bitrd 294 1 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐵 ∈ (fBas‘𝑌) ∧ 𝐹:𝑌𝑋) → (((𝑋 FilMap 𝐹)‘𝐵) ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐵𝑧𝑦𝑤𝑦 ((𝐹𝑧)𝐷(𝐹𝑤)) < 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  ran crn 5085  cima 5087   Fn wfn 5852  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615   < clt 10034  +crp 11792  ∞Metcxmt 19671  fBascfbas 19674  filGencfg 19675   FilMap cfm 21677  CauFilccfil 22990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-2 11039  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ico 12139  df-xmet 19679  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-fil 21590  df-fm 21682  df-cfil 22993
This theorem is referenced by:  caucfil  23021
  Copyright terms: Public domain W3C validator