MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnn0ind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fnn0ind 11688
Description: Induction on the integers from 0 to 𝑁 inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
fnn0ind.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
fnn0ind.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
fnn0ind.4 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
fnn0ind.5 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
fnn0ind.6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
Assertion
Ref Expression
fnn0ind ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐾   𝑥,𝑁,𝑦   𝜒,𝑥   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝜏,𝑥   𝜃,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝐾(𝑦)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 11602 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
2 nn0z 11612 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
3 0z 11600 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝜑𝜓))
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜒))
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜃))
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐾 → (𝜑𝜏))
8 elnn0z 11602 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝜓)
108, 9sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
11103adant1 1125 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝜓)
12 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
13 zre 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14 0re 10252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ
15 lelttr 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
16 ltle 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
17163adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 → 0 ≤ 𝑁))
1815, 17syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
1914, 18mp3an1 1560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2012, 13, 19syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁))
2120ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁)))
23223impib 1109 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 0 ≤ 𝑁))
2423impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝑁)
25 elnn0z 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ0 ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦))
2625anbi1i 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) ↔ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁))
27 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁) → (𝜒𝜃))
28273expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
298, 26, 28syl2anbr 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3029expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦) ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
31303impa 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (𝜒𝜃)))
3231expd 451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃))))
3332impcom 445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝑁 → (𝜒𝜃)))
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
3534adantll 752 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝜒𝜃))
364, 5, 6, 7, 11, 35fzind 11687 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
373, 36mpanl1 718 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁)) → 𝜏)
3837expcom 450 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝜏))
392, 38syl5 34 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
40393expa 1112 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) ∧ 𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
411, 40sylanb 490 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ0𝜏))
4241impcom 445 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝜏)
43423impb 1108 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0𝐾𝑁) → 𝜏)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286  cle 10287  0cn0 11504  cz 11589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  15505  poimirlem28  33768
  Copyright terms: Public domain W3C validator