Theorem elnn0z 12518

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12420	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 12515	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2736	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 914	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 12516	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2816	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 233	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 867	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 209	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 624	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1008	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 11152	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 12509	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 11236	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 303	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 297	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506

This theorem is referenced by:  zle0orge1  12522  nn0zrab  12538  znn0sub  12556  nn0ind  12605  fnn0ind  12609  fznn0  13556  elfz0ubfz0  13569  elfz0fzfz0  13570  fz0fzelfz0  13571  elfzmlbp  13576  difelfzle  13578  difelfznle  13579  elfzo0z  13638  fzofzim  13646  ubmelm1fzo  13700  flge0nn0  13758  zmodcl  13829  modmuladdnn0  13856  modsumfzodifsn  13885  zsqcl2  14079  swrdnnn0nd  14597  swrdswrdlem  14645  swrdswrd  14646  swrdccatin2  14670  pfxccatin12lem2  14672  pfxccatin12lem3  14673  repswswrd  14725  cshwidxmod  14744  nn0abscl  15254  iseralt  15627  binomrisefac  15984  oexpneg  16291  oddnn02np1  16294  evennn02n  16296  nn0ehalf  16324  nn0oddm1d2  16331  divalglem2  16341  divalglem8  16346  divalglem10  16348  divalgb  16350  bitsinv1lem  16387  dfgcd2  16492  algcvga  16525  hashgcdlem  16734  iserodd  16782  pockthlem  16852  4sqlem14  16905  cshwshashlem2  17043  chfacfscmul0  22721  chfacfpmmul0  22725  taylfvallem1  26240  tayl0  26245  basellem3  26969  bcmono  27164  gausslemma2dlem0h  27250  2sqnn0  27325  crctcshwlkn0lem7  29719  crctcshwlkn0  29724  clwlkclwwlklem2a1  29894  clwlkclwwlklem2fv2  29898  clwlkclwwlklem2a  29900  wwlksubclwwlk  29960  0nn0m1nnn0  35073  knoppndvlem2  36474  aks4d1p1p2  42031  aks4d1p1p4  42032  aks4d1p3  42039  aks4d1p7  42044  aks4d1p8  42048  aks4d1p9  42049  aks6d1c1  42077  hashscontpow1  42082  aks6d1c2lem4  42088  aks6d1c2  42091  aks6d1c5lem3  42098  aks6d1c5lem2  42099  sticksstones10  42116  sticksstones12a  42118  aks6d1c6lem3  42133  aks6d1c6lem4  42134  bcled  42139  bcle2d  42140  aks6d1c7lem1  42141  aks6d1c7lem2  42142  unitscyglem5  42160  irrapxlem1  42783  rmynn0  42919  rmyabs  42920  jm2.22  42957  jm2.23  42958  jm2.27a  42967  jm2.27c  42969  dvnprodlem1  45917  wallispilem4  46039  stirlinglem5  46049  elaa2lem  46204  etransclem3  46208  etransclem7  46212  etransclem10  46215  etransclem19  46224  etransclem20  46225  etransclem21  46226  etransclem22  46227  etransclem24  46229  etransclem27  46232  ormkglobd  46846  zm1nn  47276  eluzge0nn0  47286  elfz2z  47289  2elfz2melfz  47292  subsubelfzo0  47300  oexpnegALTV  47651  nn0oALTV  47670  nn0e  47671  gpgusgralem  48020  nn0eo  48490  dig1  48570