Theorem elnn0z 11995

Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elnn0z	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11900	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		elnnz 11992	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3		eqcom 2828	. . 3 ⊢ (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
4	2, 3	orbi12i 911	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6		0z 11993	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
7		eleq1 2900	. . . . . . 7 ⊢ (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
8	6, 7	mpbii 235	. . . . . 6 ⊢ (0 = 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	5, 8	jaoi 853	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		orc 863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
11	9, 10	impbii 211	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
12	11	anbi1i 625	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13		ordir 1003	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14		0re 10643	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
15		zre 11986	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16		leloe 10727	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
17	14, 15, 16	sylancr 589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
18	17	pm5.32i 577	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
19	12, 13, 18	3bitr4i 305	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
20	1, 4, 19	3bitri 299	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ℝcr 10536  0cc0 10537   < clt 10675   ≤ cle 10676  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983

This theorem is referenced by:  zle0orge1  11999  nn0zrab  12012  znn0sub  12030  nn0ind  12078  fnn0ind  12082  fznn0  13000  elfz0ubfz0  13012  elfz0fzfz0  13013  fz0fzelfz0  13014  elfzmlbp  13019  difelfzle  13021  difelfznle  13022  elfzo0z  13080  fzofzim  13085  ubmelm1fzo  13134  flge0nn0  13191  zmodcl  13260  modmuladdnn0  13284  modsumfzodifsn  13313  zsqcl2  13503  swrdnnn0nd  14018  swrdswrdlem  14066  swrdswrd  14067  swrdccatin2  14091  pfxccatin12lem2  14093  pfxccatin12lem3  14094  repswswrd  14146  cshwidxmod  14165  nn0abscl  14672  iseralt  15041  binomrisefac  15396  oexpneg  15694  oddnn02np1  15697  evennn02n  15699  nn0ehalf  15729  nn0oddm1d2  15736  divalglem2  15746  divalglem8  15751  divalglem10  15753  divalgb  15755  bitsinv1lem  15790  dfgcd2  15894  algcvga  15923  hashgcdlem  16125  iserodd  16172  pockthlem  16241  4sqlem14  16294  cshwshashlem2  16430  chfacfscmul0  21466  chfacfpmmul0  21470  taylfvallem1  24945  tayl0  24950  basellem3  25660  bcmono  25853  gausslemma2dlem0h  25939  2sqnn0  26014  crctcshwlkn0lem7  27594  crctcshwlkn0  27599  clwlkclwwlklem2a1  27770  clwlkclwwlklem2fv2  27774  clwlkclwwlklem2a  27776  wwlksubclwwlk  27837  0nn0m1nnn0  32351  knoppndvlem2  33852  irrapxlem1  39439  rmynn0  39574  rmyabs  39575  jm2.22  39612  jm2.23  39613  jm2.27a  39622  jm2.27c  39624  dvnprodlem1  42251  wallispilem4  42373  stirlinglem5  42383  elaa2lem  42538  etransclem3  42542  etransclem7  42546  etransclem10  42549  etransclem19  42558  etransclem20  42559  etransclem21  42560  etransclem22  42561  etransclem24  42563  etransclem27  42566  zm1nn  43522  eluzge0nn0  43532  elfz2z  43535  2elfz2melfz  43538  subsubelfzo0  43546  oexpnegALTV  43862  nn0oALTV  43881  nn0e  43882  nn0eo  44608  dig1  44688