MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnn0z 11226
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 elnn0 11144 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 elnnz 11223 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁))
3 eqcom 2616 . . 3 (𝑁 = 0 ↔ 0 = 𝑁)
42, 3orbi12i 541 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁))
5 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
6 0z 11224 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
7 eleq1 2675 . . . . . . 7 (0 = 𝑁 → (0 ∈ ℤ ↔ 𝑁 ∈ ℤ))
86, 7mpbii 221 . . . . . 6 (0 = 𝑁𝑁 ∈ ℤ)
95, 8jaoi 392 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 orc 398 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁))
119, 10impbii 197 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℤ)
1211anbi1i 726 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
13 ordir 904 . . 3 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ ((𝑁 ∈ ℤ ∨ 0 = 𝑁) ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
14 0re 9897 . . . . 5 0 ∈ ℝ
15 zre 11217 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
16 leloe 9976 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1714, 15, 16sylancr 693 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1817pm5.32i 666 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
1912, 13, 183bitr4i 290 . 2 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑁) ∨ 0 = 𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
201, 4, 193bitri 284 1 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  cle 9932  cn 10870  0cn0 11142  cz 11213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214
This theorem is referenced by:  nn0zrab  11242  znn0sub  11260  nn0ind  11307  fnn0ind  11311  fznn0  12259  elfz0ubfz0  12270  elfz0fzfz0  12271  fz0fzelfz0  12272  elfzmlbp  12277  difelfzle  12279  difelfznle  12280  elfzo0z  12335  fzofzim  12340  ubmelm1fzo  12388  flge0nn0  12441  zmodcl  12510  modmuladdnn0  12534  modsumfzodifsn  12563  zsqcl2  12761  swrdswrdlem  13260  swrdswrd  13261  swrdccatin2  13287  swrdccatin12lem2  13289  swrdccatin12lem3  13290  repswswrd  13331  cshwidxmod  13349  nn0abscl  13849  iseralt  14212  binomrisefac  14561  oexpneg  14856  oddnn02np1  14859  evennn02n  14861  nn0ehalf  14882  nn0oddm1d2  14888  divalglem2  14905  divalglem8  14910  divalglem10  14912  divalgb  14914  bitsinv1lem  14950  dfgcd2  15050  algcvga  15079  hashgcdlem  15280  iserodd  15327  pockthlem  15396  4sqlem14  15449  cshwshashlem2  15590  chfacfscmul0  20430  chfacfpmmul0  20434  taylfvallem1  23860  tayl0  23865  leibpilem1  24412  basellem3  24554  bcmono  24747  gausslemma2dlem0h  24833  clwlkisclwwlklem2a1  26101  clwlkisclwwlklem2fv2  26105  clwlkisclwwlklem2a  26107  wwlksubclwwlk  26126  knoppndvlem2  31508  irrapxlem1  36228  rmynn0  36366  rmyabs  36367  jm2.22  36404  jm2.23  36405  jm2.27a  36414  jm2.27c  36416  dvnprodlem1  38660  wallispilem4  38785  stirlinglem5  38795  elaa2lem  38950  etransclem3  38954  etransclem7  38958  etransclem10  38961  etransclem19  38970  etransclem20  38971  etransclem21  38972  etransclem22  38973  etransclem24  38975  etransclem27  38978  oexpnegALTV  39951  nn0oALTV  39970  nn0e  39971  pfxccatin12lem2  40112  zm1nn  40195  eluzge0nn0  40197  elfz2z  40199  2elfz2melfz  40202  subsubelfzo0  40206  crctcsh1wlkn0lem7  41041  crctcsh1wlkn0  41046  clwlkclwwlklem2a1  41223  clwlkclwwlklem2fv2  41227  clwlkclwwlklem2a  41229  wwlksubclwwlks  41254  nn0eo  42138  dig1  42222
  Copyright terms: Public domain W3C validator