Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem13 39644
Description: Value of 𝑉 in terms of value of 𝑄. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem13.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem13.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem13.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem13.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem13.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem13.v (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem13.i (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
fourierdlem13.q 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem13 (𝜑 → ((𝑄𝐼) = ((𝑉𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐼) = (𝑋 + (𝑄𝐼))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑝   𝐵,𝑚,𝑝   𝑖,𝐼   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑖,𝑉,𝑝   𝑖,𝑋,𝑚,𝑝   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐴(𝑖)   𝐵(𝑖)   𝑃(𝑖,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑖,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fourierdlem13
StepHypRef Expression
1 fourierdlem13.q . . . 4 𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑄 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑉𝑖) − 𝑋)))
3 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
43fveq2d 6152 . . . 4 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → (𝑉𝑖) = (𝑉𝐼))
54oveq1d 6619 . . 3 ((𝜑𝑖 = 𝐼) → ((𝑉𝑖) − 𝑋) = ((𝑉𝐼) − 𝑋))
6 fourierdlem13.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
7 fourierdlem13.v . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ (𝑃𝑀))
8 fourierdlem13.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
9 fourierdlem13.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
109fourierdlem2 39633 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1))))))
127, 11mpbid 222 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑉‘0) = (𝐴 + 𝑋) ∧ (𝑉𝑀) = (𝐵 + 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑉𝑖) < (𝑉‘(𝑖 + 1)))))
1312simpld 475 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
14 elmapi 7823 . . . . . 6 (𝑉 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑉:(0...𝑀)⟶ℝ)
1615, 6ffvelrnd 6316 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐼) ∈ ℝ)
17 fourierdlem13.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1816, 17resubcld 10402 . . 3 (𝜑 → ((𝑉𝐼) − 𝑋) ∈ ℝ)
192, 5, 6, 18fvmptd 6245 . 2 (𝜑 → (𝑄𝐼) = ((𝑉𝐼) − 𝑋))
2019oveq2d 6620 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (𝑄𝐼)) = (𝑋 + ((𝑉𝐼) − 𝑋)))
2117recnd 10012 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
2216recnd 10012 . . . 4 (𝜑 → (𝑉𝐼) ∈ ℂ)
2321, 22pncan3d 10339 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + ((𝑉𝐼) − 𝑋)) = (𝑉𝐼))
2420, 23eqtr2d 2656 . 2 (𝜑 → (𝑉𝐼) = (𝑋 + (𝑄𝐼)))
2519, 24jca 554 1 (𝜑 → ((𝑄𝐼) = ((𝑉𝐼) − 𝑋) ∧ (𝑉𝐼) = (𝑋 + (𝑄𝐼))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  {crab 2911   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  𝑚 cmap 7802  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cmin 10210  cn 10964  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212  df-neg 10213
This theorem is referenced by:  fourierdlem72  39702  fourierdlem103  39733  fourierdlem104  39734
  Copyright terms: Public domain W3C validator