Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frege98 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frege98 38757
Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
frege98.x 𝑋𝐴
frege98.y 𝑌𝐵
frege98.z 𝑍𝐶
frege98.r 𝑅𝐷
Assertion
Ref Expression
frege98 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98
StepHypRef Expression
1 frege98.x . . . 4 𝑋𝐴
2 frege98.r . . . 4 𝑅𝐷
31, 2frege97 38756 . . 3 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4 frege98.y . . . 4 𝑌𝐵
5 frege98.z . . . 4 𝑍𝐶
6 fvex 6362 . . . . 5 (t+‘𝑅) ∈ V
7 imaexg 7268 . . . . 5 ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
86, 7ax-mp 5 . . . 4 ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
94, 5, 2, 8frege84 38743 . . 3 (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
103, 9ax-mp 5 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
111elexi 3353 . . . 4 𝑋 ∈ V
124elexi 3353 . . . 4 𝑌 ∈ V
1311, 12elimasn 5648 . . 3 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14 df-br 4805 . . 3 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1513, 14bitr4i 267 . 2 (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
165elexi 3353 . . . . 5 𝑍 ∈ V
1711, 16elimasn 5648 . . . 4 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18 df-br 4805 . . . 4 (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
1917, 18bitr4i 267 . . 3 (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
2019imbi2i 325 . 2 ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
2110, 15, 203imtr3i 280 1 (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321  cop 4327   class class class wbr 4804  cima 5269  cfv 6049  t+ctcl 13925   hereditary whe 38568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-frege1 38586  ax-frege2 38587  ax-frege8 38605  ax-frege52a 38653  ax-frege58b 38697
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-seq 12996  df-trcl 13927  df-relexp 13960  df-he 38569
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator