Theorem frege98 37275

Description: If 𝑌 follows 𝑋 and 𝑍 follows 𝑌 in the 𝑅-sequence then 𝑍 follows 𝑋 in the 𝑅-sequence because the transitive closure of a relation has the transitive property. Proposition 98 of [Frege1879] p. 71. (Contributed by RP, 2-Jul-2020.) (Revised by RP, 6-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege98.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
frege98.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
frege98.z	⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
frege98.r	⊢ 𝑅 ∈ 𝐷

Assertion

Ref	Expression
frege98	⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Proof of Theorem frege98

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege98.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝐴
2		frege98.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ 𝐷
3	1, 2	frege97 37274	. . 3 ⊢ 𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋})
4		frege98.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝐵
5		frege98.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐶
6		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (t+‘𝑅) ∈ V
7		imaexg 6995	. . . . 5 ⊢ ((t+‘𝑅) ∈ V → ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ∈ V
9	4, 5, 2, 8	frege84 37261	. . 3 ⊢ (𝑅 hereditary ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}))))
10	3, 9	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})))
11	1	elexi 3186	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ V
12	4	elexi 3186	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ V
13	11, 12	elimasn 5409	. . 3 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
14		df-br 4584	. . 3 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 ↔ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (t+‘𝑅))
15	13, 14	bitr4i 266	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑌)
16	5	elexi 3186	. . . . 5 ⊢ 𝑍 ∈ V
17	11, 16	elimasn 5409	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
18		df-br 4584	. . . 4 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑍 ↔ ⟨𝑋, 𝑍⟩ ∈ (t+‘𝑅))
19	17, 18	bitr4i 266	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋}) ↔ 𝑋(t+‘𝑅)𝑍)
20	19	imbi2i 325	. 2 ⊢ ((𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑍 ∈ ((t+‘𝑅) “ {𝑋})) ↔ (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))
21	10, 15, 20	3imtr3i 279	1 ⊢ (𝑋(t+‘𝑅)𝑌 → (𝑌(t+‘𝑅)𝑍 → 𝑋(t+‘𝑅)𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   “ cima 5041  ‘cfv 5804  t+ctcl 13572   hereditary whe 37086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-frege1 37104  ax-frege2 37105  ax-frege8 37123  ax-frege52a 37171  ax-frege58b 37215

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-trcl 13574  df-relexp 13609  df-he 37087

This theorem is referenced by: (None)