Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcoe1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvcoe1 19558
 Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
fvcoe1 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1
StepHypRef Expression
1 df1o2 7557 . . . . 5 1𝑜 = {∅}
2 nn0ex 11283 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 4781 . . . . 5 ∅ ∈ V
41, 2, 3mapsnconst 7888 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
54adantl 482 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
65fveq2d 6182 . 2 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘(1𝑜 × {(𝑋‘∅)})))
7 elmapi 7864 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑋:1𝑜⟶ℕ0)
8 0lt1o 7569 . . . 4 ∅ ∈ 1𝑜
9 ffvelrn 6343 . . . 4 ((𝑋:1𝑜⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
107, 8, 9sylancl 693 . . 3 (𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
1211coe1fv 19557 . . 3 ((𝐹𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1𝑜 × {(𝑋‘∅)})))
1310, 12sylan2 491 . 2 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1𝑜 × {(𝑋‘∅)})))
146, 13eqtr4d 2657 1 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝐹𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  ∅c0 3907  {csn 4168   × cxp 5102  ⟶wf 5872  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  1𝑜c1o 7538   ↑𝑚 cmap 7842  ℕ0cn0 11277  coe1cco1 19529 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-map 7844  df-nn 11006  df-n0 11278  df-coe1 19534 This theorem is referenced by:  coe1mul2  19620  ply1coe  19647  deg1ldg  23833  deg1leb  23836
 Copyright terms: Public domain W3C validator