MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ex 11510
Description: The set of nonnegative integers exists. (Contributed by NM, 18-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ex 0 ∈ V

Proof of Theorem nn0ex
StepHypRef Expression
1 df-n0 11505 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnex 11238 . . 3 ℕ ∈ V
3 snex 5057 . . 3 {0} ∈ V
42, 3unex 7122 . 2 (ℕ ∪ {0}) ∈ V
51, 4eqeltri 2835 1 0 ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2139  Vcvv 3340  cun 3713  {csn 4321  0cc0 10148  cn 11232  0cn0 11504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-nn 11233  df-n0 11505
This theorem is referenced by:  nn0ennn  12992  nnenom  12993  fsuppmapnn0fiub0  13007  suppssfz  13008  fsuppmapnn0ub  13009  mptnn0fsupp  13011  mptnn0fsuppr  13013  elovmptnn0wrd  13555  dfrtrclrec2  14016  rtrclreclem1  14017  rtrclreclem2  14018  rtrclreclem4  14020  expcnv  14815  geolim  14820  cvgrat  14834  mertenslem2  14836  bpolylem  14998  eftlub  15058  bitsfval  15367  bitsf  15371  sadfval  15396  smufval  15421  smupf  15422  1arith  15853  ramcl  15955  fsfnn0gsumfsffz  18599  gsummptnn0fz  18602  psrbag  19586  coe1fval  19797  fvcoe1  19799  coe1fval3  19800  coe1f2  19801  coe1sfi  19805  coe1fsupp  19806  00ply1bas  19832  ply1plusgfvi  19834  coe1z  19855  coe1add  19856  coe1addfv  19857  coe1mul2lem1  19859  coe1mul2lem2  19860  coe1mul2  19861  coe1tm  19865  coe1sclmul  19874  coe1sclmulfv  19875  coe1sclmul2  19876  ply1coefsupp  19887  ply1coe  19888  gsumsmonply1  19895  gsummoncoe1  19896  evls1gsumadd  19911  evls1gsummul  19912  evl1gsummul  19946  nn0srg  20038  pmatcollpw1  20803  pmatcollpw2lem  20804  pmatcollpw2  20805  pmatcollpw3lem  20810  pm2mpcl  20824  idpm2idmp  20828  mply1topmatcllem  20830  mply1topmatcl  20832  mp2pm2mplem2  20834  mp2pm2mplem5  20837  mp2pm2mp  20838  pm2mpghmlem2  20839  pm2mpghm  20843  pm2mpmhmlem2  20846  monmat2matmon  20851  pm2mp  20852  chfacfscmulgsum  20887  chfacfpmmulgsum  20891  cpmidpmatlem2  20898  cpmadumatpolylem1  20908  cpmadumatpolylem2  20909  chcoeffeqlem  20912  cayhamlem3  20914  cayhamlem4  20915  dyadmax  23586  cpnfval  23914  deg1ldg  24071  deg1leb  24074  deg1val  24075  deg1mul3  24094  deg1mul3le  24095  uc1pmon1p  24130  plyval  24168  elply2  24171  plyf  24173  elplyr  24176  plyeq0lem  24185  plyeq0  24186  plypf1  24187  plyaddlem1  24188  plyaddlem  24190  plymullem  24191  coeeulem  24199  coeeq  24202  dgrlem  24204  coeidlem  24212  coeaddlem  24224  coemulc  24230  coe0  24231  coesub  24232  dgradd2  24243  dgrcolem2  24249  plydivlem4  24270  plydiveu  24272  vieta1lem2  24285  taylfval  24332  pserval  24383  dvradcnv  24394  pserdvlem2  24401  abelthlem1  24404  abelthlem3  24406  abelthlem6  24409  logtayl  24626  leibpi  24889  sqff1o  25128  clwwlknonmpt2  27255  eulerpartleme  30755  eulerpartlem1  30759  eulerpartlemt  30763  eulerpartgbij  30764  eulerpartlemr  30766  eulerpartlemmf  30767  eulerpartlemgvv  30768  eulerpartlemgs2  30772  eulerpartlemn  30773  fib0  30791  fib1  30792  fibp1  30793  knoppcnlem1  32810  knoppcnlem6  32815  poimirlem32  33772  heiborlem3  33943  eldiophb  37840  diophrw  37842  hbtlem1  38213  hbtlem7  38215  dgrsub2  38225  mpaaeu  38240  deg1mhm  38305  elrtrclrec  38493  brmptiunrelexpd  38495  brrtrclrec  38509  iunrelexp0  38514  iunrelexpmin2  38524  dfrtrcl3  38545  fvrtrcllb0d  38547  fvrtrcllb0da  38548  fvrtrcllb1d  38549  radcnvrat  39033  binomcxplemrat  39069  binomcxplemnotnn0  39075  expfac  40410  dvnprodlem1  40682  dvnprodlem2  40683  dvnprodlem3  40684  etransclem24  40996  etransclem25  40997  etransclem26  40998  etransclem28  41000  etransclem35  41007  etransclem37  41009  etransclem48  41020  fmtnoinf  41976  ply1mulgsum  42706
  Copyright terms: Public domain W3C validator