Theorem coe1fval3 19626

Description: Univariate power series coefficient vectors expressed as a function composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f2.p	⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
coe1fval3.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
coe1fval3	⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Distinct variable group:   𝑦,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑃(𝑦)   𝑅(𝑦)   𝐺(𝑦)

Proof of Theorem coe1fval3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2	1	coe1fval 19623	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
3		coe1f2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (PwSer1‘𝑅)
4		coe1f2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		eqid 2651	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6	3, 4, 5	psr1basf 19619	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅))
7		ssv 3658	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ⊆ V
8		fss 6094	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶(Base‘𝑅) ∧ (Base‘𝑅) ⊆ V) → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V)
9	6, 7, 8	sylancl 695	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V)
10		fconst6g 6132	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
12		nn0ex 11336	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
13		1on 7612	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
14	13	elexi 3244	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
15	12, 14	elmap 7928	. . . . 5 ⊢ ((1𝑜 × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↔ (1𝑜 × {𝑦}):1𝑜⟶ℕ0)
16	11, 15	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (1𝑜 × {𝑦}) ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜))
17		coe1fval3.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦}))
18	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐺 = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (1𝑜 × {𝑦})))
19		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V)
20	19	feqmptd 6288	. . . 4 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → 𝐹 = (𝑥 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1𝑜) ↦ (𝐹‘𝑥)))
21		fveq2 6229	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (1𝑜 × {𝑦}) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦})))
22	16, 18, 20, 21	fmptco 6436	. . 3 ⊢ (𝐹:(ℕ0 ↑𝑚 1𝑜)⟶V → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
23	9, 22	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝑦 ∈ ℕ0 ↦ (𝐹‘(1𝑜 × {𝑦}))))
24	2, 23	eqtr4d 2688	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (𝐹 ∘ 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141   ∘ ccom 5147  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1_𝑜c1o 7598   ↑_𝑚 cmap 7899  ℕ₀cn0 11330  Basecbs 15904  PwSer₁cps1 19593  coe₁cco1 19596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-tset 16007  df-ple 16008  df-psr 19404  df-opsr 19408  df-psr1 19598  df-coe1 19601

This theorem is referenced by:  coe1f2  19627  coe1fval2  19628  coe1mul2  19687