Theorem fvprmselelfz 15528

Description: The value of the prime selection function is in a finite sequence of integers if the argument is in this finite sequence of integers. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvprmselelfz.f	⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))

Assertion

Ref	Expression
fvprmselelfz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselelfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvprmselelfz.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1)))
3		eleq1 2671	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
4		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → 𝑚 = 𝑋)
5	3, 4	ifbieq1d 4054	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
6		iftrue 4037	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
7	6	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
8	5, 7	sylan9eqr 2661	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
9		elfznn 12192	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
10	9	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℕ)
11	10	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
12		simpl 471	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℙ)
13	2, 8, 11, 12	fvmptd 6178	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 𝑋)
14		simprr 791	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ (1...𝑁))
15	13, 14	eqeltrd 2683	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
16	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1)))
17		iffalse 4040	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
18	17	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
19	5, 18	sylan9eqr 2661	. . . 4 ⊢ (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
20	10	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
21		1nn 10874	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
23	16, 19, 20, 22	fvmptd 6178	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) = 1)
24		elnnuz 11552	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
25		eluzfz1 12170	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
26	24, 25	sylbi 205	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
27	26	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
28	27	adantl 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ (1...𝑁))
29	23, 28	eqeltrd 2683	. 2 ⊢ ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))
30	15, 29	pm2.61ian 826	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹‘𝑋) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1975  ifcif 4031   ↦ cmpt 4633  ‘cfv 5786  (class class class)co 6523  1c1 9789  ℕcn 10863  ℤ_≥cuz 11515  ...cfz 12148  ℙcprime 15165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149

This theorem is referenced by: (None)