MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvprmselelfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvprmselelfz 15528
Description: The value of the prime selection function is in a finite sequence of integers if the argument is in this finite sequence of integers. (Contributed by AV, 19-Aug-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fvprmselelfz.f 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
Assertion
Ref Expression
fvprmselelfz ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑋) ∈ (1...𝑁))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝑚,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑚)

Proof of Theorem fvprmselelfz
StepHypRef Expression
1 fvprmselelfz.f . . . . 5 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1))
21a1i 11 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1)))
3 eleq1 2671 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑋 → (𝑚 ∈ ℙ ↔ 𝑋 ∈ ℙ))
4 id 22 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑋𝑚 = 𝑋)
53, 4ifbieq1d 4054 . . . . 5 (𝑚 = 𝑋 → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1))
6 iftrue 4037 . . . . . 6 (𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
76adantr 479 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 𝑋)
85, 7sylan9eqr 2661 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 𝑋)
9 elfznn 12192 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (1...𝑁) → 𝑋 ∈ ℕ)
109adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℕ)
1110adantl 480 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
12 simpl 471 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℙ)
132, 8, 11, 12fvmptd 6178 . . 3 ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹𝑋) = 𝑋)
14 simprr 791 . . 3 ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ (1...𝑁))
1513, 14eqeltrd 2683 . 2 ((𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹𝑋) ∈ (1...𝑁))
161a1i 11 . . . 4 ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝐹 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1)))
17 iffalse 4040 . . . . . 6 𝑋 ∈ ℙ → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
1817adantr 479 . . . . 5 ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → if(𝑋 ∈ ℙ, 𝑋, 1) = 1)
195, 18sylan9eqr 2661 . . . 4 (((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) ∧ 𝑚 = 𝑋) → if(𝑚 ∈ ℙ, 𝑚, 1) = 1)
2010adantl 480 . . . 4 ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 𝑋 ∈ ℕ)
21 1nn 10874 . . . . 5 1 ∈ ℕ
2221a1i 11 . . . 4 ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
2316, 19, 20, 22fvmptd 6178 . . 3 ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹𝑋) = 1)
24 elnnuz 11552 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
25 eluzfz1 12170 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...𝑁))
2624, 25sylbi 205 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ (1...𝑁))
2726adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ (1...𝑁))
2827adantl 480 . . 3 ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → 1 ∈ (1...𝑁))
2923, 28eqeltrd 2683 . 2 ((¬ 𝑋 ∈ ℙ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁))) → (𝐹𝑋) ∈ (1...𝑁))
3015, 29pm2.61ian 826 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ (1...𝑁)) → (𝐹𝑋) ∈ (1...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  ifcif 4031  cmpt 4633  cfv 5786  (class class class)co 6523  1c1 9789  cn 10863  cuz 11515  ...cfz 12148  cprime 15165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator