MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnuz 11937
Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnuz (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))

Proof of Theorem elnnuz
StepHypRef Expression
1 nnuz 11936 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21eleq2i 2831 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 2139  cfv 6049  1c1 10149  cn 11232  cuz 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-z 11590  df-uz 11900
This theorem is referenced by:  eluzge3nn  11943  uznnssnn  11948  uzsubsubfz1  12577  elfz1end  12584  fznn  12621  prednn  12676  fzo1fzo0n0  12733  elfzonlteqm1  12758  nnsinds  13001  faclbnd  13291  bcn1  13314  fz1isolem  13457  relexpsucnnr  13984  geoisum1  14829  geoisum1c  14830  fprodfac  14922  rpnnen2lem5  15166  rpnnen2lem12  15173  dvdsfac  15270  prmind2  15620  prmunb  15840  prmop1  15964  fvprmselelfz  15970  prmgaplem7  15983  structfn  16096  setsstruct  16120  gexcl3  18222  cayhamlem1  20893  1stckgenlem  21578  radcnvlem2  24387  dvradcnv  24394  logfac  24567  logtayllem  24625  logtayl  24626  leibpi  24889  prmorcht  25124  pclogsum  25160  bpos1  25228  2lgslem1a  25336  2sqlem10  25373  axlowdimlem13  26054  axlowdim1  26059  clwwlkccatlem  27133  clwwlknonclwlknonf1o  27543  opsqrlem5  29333  iuninc  29707  esumfsupre  30463  esumcvg  30478  ballotlemfp1  30883  ballotlemfc0  30884  ballotlemfcc  30885  ballotlem4  30890  ballotlemic  30898  ballotlem1c  30899  cvmliftlem10  31604  climuzcnv  31893  bcprod  31952  faclim  31960  poimirlem13  33753  poimirlem14  33754  poimirlem30  33770  mblfinlem2  33778  seqpo  33874  incsequz  33875  incsequz2  33876  elnnrabdioph  37891  expdiophlem1  38108  fmuldfeq  40336  fmul01lt1  40339  stoweidlem3  40741  stoweidlem26  40764  stoweidlem42  40780  stoweidlem48  40786  wallispilem3  40805  wallispilem4  40806  wallispi  40808  wallispi2lem1  40809  wallispi2lem2  40810  wallispi2  40811  stirlinglem7  40818  stirlinglem10  40821  stirlinglem12  40823  iccpartgtl  41890  fmtno4prmfac  42012  altgsumbcALT  42659
  Copyright terms: Public domain W3C validator