MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elnnuz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elnnuz 11668
Description: A positive integer expressed as a member of an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnnuz (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))

Proof of Theorem elnnuz
StepHypRef Expression
1 nnuz 11667 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
21eleq2i 2690 1 (𝑁 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 1987  cfv 5847  1c1 9881  cn 10964  cuz 11631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-z 11322  df-uz 11632
This theorem is referenced by:  eluzge3nn  11674  uznnssnn  11679  uzsubsubfz1  12306  elfz1end  12313  fznn  12350  prednn  12403  fzo1fzo0n0  12459  elfzonlteqm1  12484  nnsinds  12727  faclbnd  13017  bcn1  13040  fz1isolem  13183  relexpsucnnr  13699  geoisum1  14535  geoisum1c  14536  fprodfac  14628  rpnnen2lem5  14872  rpnnen2lem12  14879  dvdsfac  14972  prmind2  15322  prmunb  15542  prmop1  15666  fvprmselelfz  15672  prmgaplem7  15685  structfn  15797  setsstruct  15819  gexcl3  17923  cayhamlem1  20590  1stckgenlem  21266  radcnvlem2  24072  dvradcnv  24079  logfac  24251  logtayllem  24305  logtayl  24306  leibpi  24569  prmorcht  24804  pclogsum  24840  bpos1  24908  2lgslem1a  25016  2sqlem10  25053  axlowdimlem13  25734  axlowdim1  25739  opsqrlem5  28849  iuninc  29221  esumfsupre  29911  esumcvg  29926  ballotlemfp1  30331  ballotlemfc0  30332  ballotlemfcc  30333  ballotlem4  30338  ballotlemic  30346  ballotlem1c  30347  cvmliftlem10  30981  climuzcnv  31270  bcprod  31329  faclim  31337  poimirlem13  33051  poimirlem14  33052  poimirlem30  33068  mblfinlem2  33076  seqpo  33172  incsequz  33173  incsequz2  33174  elnnrabdioph  36848  expdiophlem1  37065  fmuldfeq  39216  fmul01lt1  39219  stoweidlem3  39524  stoweidlem26  39547  stoweidlem42  39563  stoweidlem48  39569  wallispilem3  39588  wallispilem4  39589  wallispi  39591  wallispi2lem1  39592  wallispi2lem2  39593  wallispi2  39594  stirlinglem7  39601  stirlinglem10  39604  stirlinglem12  39606  iccpartgtl  40657  fmtno4prmfac  40780  altgsumbcALT  41416
  Copyright terms: Public domain W3C validator