MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfznn 12355
Description: A member of a finite set of sequential integers starting at 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 24-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
elfznn (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)

Proof of Theorem elfznn
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12327 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2 elfzle1 12329 . 2 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝐾)
3 elnnz1 11388 . 2 (𝐾 ∈ ℕ ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐾))
41, 2, 3sylanbrc 697 1 (𝐾 ∈ (1...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1988   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  1c1 9922  cle 10060  cn 11005  cz 11362  ...cfz 12311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312
This theorem is referenced by:  elfz1end  12356  fz1ssnn  12357  fzossnn  12500  bcm1k  13085  bcpasc  13091  seqcoll  13231  swrd0fv0  13422  swrd0fvlsw  13425  isercolllem2  14377  isercolllem3  14378  isercoll  14379  sumeq2ii  14404  summolem3  14426  summolem2a  14427  fsum  14432  sumz  14434  fsumconst  14503  o1fsum  14526  binomlem  14542  incexc2  14551  climcndslem1  14562  climcndslem2  14563  climcnds  14564  harmonic  14572  arisum2  14574  trireciplem  14575  geo2sum  14585  geo2lim  14587  prodeq2ii  14624  prodmolem3  14644  prodmolem2a  14645  fprod  14652  prod1  14655  fprodfac  14684  fprodconst  14689  risefallfac  14736  risefacfac  14747  fallfacval4  14755  bpolydiflem  14766  rpnnen2lem10  14933  fzm1ndvds  15025  pwp1fsum  15095  lcmflefac  15342  phicl  15455  prmdivdiv  15473  pcfac  15584  pcbc  15585  prmreclem2  15602  prmreclem3  15603  prmreclem4  15604  prmreclem5  15605  prmreclem6  15606  prmrec  15607  4sqlem13  15642  vdwlem2  15667  vdwlem3  15668  vdwlem10  15675  vdwlem12  15677  prmocl  15719  prmop1  15723  fvprmselelfz  15729  fvprmselgcd1  15730  prmolefac  15731  prmodvdslcmf  15732  prmgapprmo  15747  mulgnnsubcl  17534  mulgnn0z  17548  mulgnndir  17550  mulgnndirOLD  17551  oddvdsnn0  17944  odnncl  17945  gexcl3  17983  efgsres  18132  mulgnn0di  18212  gsumconst  18315  srgbinomlem4  18524  chfacfscmulgsum  20646  chfacfpmmulgsum  20650  chfacfpmmulgsum2  20651  cayhamlem1  20652  cpmadugsumlemF  20662  1stcfb  21229  1stckgenlem  21337  lebnumii  22746  ovollb2lem  23237  ovolunlem1a  23245  ovoliunlem1  23251  ovoliunlem2  23252  ovoliun2  23255  ovolscalem1  23262  ovolicc2lem4  23269  voliunlem1  23299  volsup  23305  ioombl1lem4  23310  uniioovol  23328  uniioombllem3a  23333  uniioombllem3  23334  uniioombllem4  23335  uniioombllem5  23336  uniioombllem6  23337  dvply1  24020  aaliou3lem5  24083  aaliou3lem6  24084  dvtaylp  24105  taylthlem2  24109  pserdvlem2  24163  logfac  24328  atantayl  24645  birthdaylem2  24660  emcllem1  24703  emcllem2  24704  emcllem3  24705  emcllem5  24707  emcllem7  24709  harmoniclbnd  24716  harmonicubnd  24717  harmonicbnd4  24718  fsumharmonic  24719  lgamcvg2  24762  gamcvg2lem  24766  wilthlem1  24775  wilthlem2  24776  ftalem5  24784  basellem1  24788  basellem8  24795  chpf  24830  efchpcl  24832  chpp1  24862  chpwordi  24864  prmorcht  24885  dvdsflf1o  24894  dvdsflsumcom  24895  chtlepsi  24912  fsumvma2  24920  pclogsum  24921  vmasum  24922  logfac2  24923  chpval2  24924  chpchtsum  24925  logfaclbnd  24928  logexprlim  24931  logfacrlim2  24932  pcbcctr  24982  bposlem1  24990  bposlem2  24991  lgscllem  25010  lgsval2lem  25013  lgsval4a  25025  lgsneg  25027  lgsdir  25038  lgsdilem2  25039  lgsdi  25040  lgsne0  25041  lgsqrlem2  25053  lgseisenlem1  25081  lgseisenlem2  25082  lgseisenlem3  25083  lgseisenlem4  25084  lgseisen  25085  lgsquadlem1  25086  lgsquadlem2  25087  lgsquadlem3  25088  2lgslem1a1  25095  chebbnd1lem1  25139  vmadivsum  25152  vmadivsumb  25153  rplogsumlem2  25155  dchrisum0lem1a  25156  rpvmasumlem  25157  dchrisumlem2  25160  dchrmusum2  25164  dchrvmasumlem1  25165  dchrvmasum2lem  25166  dchrvmasum2if  25167  dchrvmasumlem2  25168  dchrvmasumlem3  25169  dchrvmasumiflem1  25171  dchrvmasumiflem2  25172  dchrisum0fno1  25181  rpvmasum2  25182  dchrisum0re  25183  dchrisum0lem1b  25185  dchrisum0lem1  25186  dchrisum0lem2a  25187  dchrisum0lem2  25188  dchrisum0lem3  25189  dchrisum0  25190  dchrmusumlem  25192  dchrvmasumlem  25193  rplogsum  25197  mudivsum  25200  mulogsumlem  25201  mulogsum  25202  mulog2sumlem1  25204  mulog2sumlem2  25205  mulog2sumlem3  25206  vmalogdivsum2  25208  vmalogdivsum  25209  2vmadivsumlem  25210  log2sumbnd  25214  selberglem1  25215  selberglem2  25216  selberglem3  25217  selberg  25218  selbergb  25219  selberg2lem  25220  selberg2  25221  selberg2b  25222  chpdifbndlem1  25223  logdivbnd  25226  selberg3lem1  25227  selberg3lem2  25228  selberg3  25229  selberg4lem1  25230  selberg4  25231  pntrsumo1  25235  pntrsumbnd  25236  pntrsumbnd2  25237  selbergr  25238  selberg3r  25239  selberg4r  25240  selberg34r  25241  pntsf  25243  pntsval2  25246  pntrlog2bndlem1  25247  pntrlog2bndlem2  25248  pntrlog2bndlem3  25249  pntrlog2bndlem4  25250  pntrlog2bndlem5  25251  pntrlog2bndlem6  25253  pntrlog2bnd  25254  pntpbnd2  25257  pntlemf  25275  pntlemk  25276  pntlemo  25277  eucrct2eupth  27085  dipcl  27537  dipcn  27545  esumpcvgval  30114  esumpmono  30115  esumcvg  30122  esumcvgsum  30124  eulerpartlemgc  30398  ballotlemfc0  30528  ballotlemfcc  30529  ballotlemimin  30541  ballotlemic  30542  ballotlem1c  30543  ballotlemsel1i  30548  ballotlemsf1o  30549  erdszelem4  31150  erdszelem8  31154  erdsze2lem2  31160  cvmliftlem2  31242  cvmliftlem6  31246  cvmliftlem8  31248  cvmliftlem9  31249  cvmliftlem10  31250  bcprod  31599  faclim  31607  poimirlem6  33386  poimirlem7  33387  poimirlem8  33388  poimirlem9  33389  poimirlem11  33391  poimirlem13  33393  poimirlem14  33394  poimirlem15  33395  poimirlem16  33396  poimirlem17  33397  poimirlem18  33398  poimirlem22  33402  poimirlem32  33412  mblfinlem2  33418  eldioph3b  37147  diophin  37155  diophun  37156  eldiophss  37157  irrapxlem4  37208  sumnnodd  39662  stoweidlem34  40014  wallispilem4  40048  wallispi  40050  wallispi2lem1  40051  wallispi2  40053  stirlinglem5  40058  stirlinglem7  40060  stirlinglem10  40063  stirlinglem12  40065  fourierdlem83  40169  fourierdlem112  40198  caratheodorylem2  40504  hoidmvlelem2  40573  hoidmvlelem3  40574  pfxfv0  41165  pfxfvlsw  41168  pwdif  41266  altgsumbcALT  41896  nn0sumshdiglemA  42178  nn0sumshdiglemB  42179
  Copyright terms: Public domain W3C validator