Theorem fzdifsuc 12964

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzsuc 12951	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
2	1	difeq1d 4091	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}))
3		uncom 4122	. . 3 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})
4		ssun2 4142	. . . 4 ⊢ {(𝑁 + 1)} ⊆ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})
5		incom 4171	. . . . . 6 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)})
6		fzp1disj 12963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
7	5, 6	eqtri 2843	. . . . 5 ⊢ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
9		uneqdifeq 4431	. . . 4 ⊢ (({(𝑁 + 1)} ⊆ ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∧ ({(𝑁 + 1)} ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅) → (({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁)))
10	4, 8, 9	sylancr 589	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (({(𝑁 + 1)} ∪ (𝑀...𝑁)) = ((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ↔ (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁)))
11	3, 10	mpbii 235	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((𝑀...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (𝑀...𝑁))
12	2, 11	eqtr2d 2856	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3926   ∪ cun 3927   ∩ cin 3928   ⊆ wss 3929  ∅c0 4284  {csn 4560  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  1c1 10531   + caddc 10533  ℤ_≥cuz 12237  ...cfz 12889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890

This theorem is referenced by:  fzdifsuc2  41652  dvnmul  42303