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Theorem fzdifsuc2 38976
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. Similar to fzdifsuc 12339, but with a weaker condition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc2
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2 zre 11326 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
32ad2antlr 762 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
43ltm1d 10901 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
51, 4eqbrtrd 4640 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
6 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 eluzelz 11641 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
87ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 fzn 12296 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
106, 8, 9syl2anc 692 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
115, 10mpbid 222 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
12 difid 3927 . . . . . 6 ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅
1312a1i 11 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ∅)
1413eqcomd 2632 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ∅ = ({𝑀} ∖ {𝑀}))
15 oveq1 6612 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (𝑀 − 1) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
1615adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
172recnd 10013 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
1817ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℂ)
19 1cnd 10001 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
2018, 19npcand 10341 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
2116, 20eqtrd 2660 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
2221oveq2d 6621 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
23 fzsn 12322 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2423ad2antlr 762 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
2522, 24eqtr2d 2661 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = (𝑀...(𝑁 + 1)))
2621eqcomd 2632 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
2726sneqd 4165 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {𝑀} = {(𝑁 + 1)})
2825, 27difeq12d 3712 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ({𝑀} ∖ {𝑀}) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
2911, 14, 283eqtrd 2664 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
30 simplr 791 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
317ad2antrr 761 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
322ad2antlr 762 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 1red 10000 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 1 ∈ ℝ)
3432, 33resubcld 10403 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
3531zred 11426 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36 eluzle 11644 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
3736ad2antrr 761 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ≤ 𝑁)
38 neqne 2804 . . . . . . . . 9 𝑁 = (𝑀 − 1) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
3938adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ≠ (𝑀 − 1))
4034, 35, 37, 39leneltd 10136 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑁)
41 zlem1lt 11374 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4230, 31, 41syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀𝑁 ↔ (𝑀 − 1) < 𝑁))
4340, 42mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀𝑁)
4430, 31, 433jca 1240 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
45 eluz2 11637 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
4644, 45sylibr 224 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
47 fzdifsuc 12339 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4846, 47syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
4929, 48pm2.61dan 831 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
50 eluzel2 11636 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5150con3i 150 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
52 fzn0 12294 . . . . . 6 ((𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5351, 52sylnibr 319 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅)
54 nne 2800 . . . . 5 (¬ (𝑀...𝑁) ≠ ∅ ↔ (𝑀...𝑁) = ∅)
5553, 54sylib 208 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ∅)
56 eluzel2 11636 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
5756con3i 150 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
58 fzn0 12294 . . . . . . . 8 ((𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5957, 58sylnibr 319 . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℤ → ¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅)
60 nne 2800 . . . . . . 7 (¬ (𝑀...(𝑁 + 1)) ≠ ∅ ↔ (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6159, 60sylib 208 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...(𝑁 + 1)) = ∅)
6261difeq1d 3710 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) = (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}))
63 0dif 3954 . . . . . 6 (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅
6463a1i 11 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (∅ ∖ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
6562, 64eqtr2d 2661 . . . 4 𝑀 ∈ ℤ → ∅ = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6655, 65eqtrd 2660 . . 3 𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6766adantl 482 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
6849, 67pm2.61dan 831 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  cdif 3557  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  cz 11322  cuz 11631  ...cfz 12265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266
This theorem is referenced by:  dvnmul  39451
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