MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gchaclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gchaclem 9255
Description: Lemma for gchac 9258 (obsolete, used in Sierpiński's proof). (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gchaclem.1 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
gchaclem.3 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
gchaclem.4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Assertion
Ref Expression
gchaclem (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))

Proof of Theorem gchaclem
StepHypRef Expression
1 gchaclem.4 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
21simpld 473 . . 3 (𝜑𝐴𝐶)
3 reldom 7723 . . . . . 6 Rel ≼
43brrelex2i 4977 . . . . 5 (𝐴𝐶𝐶 ∈ V)
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ V)
6 canth2g 7875 . . . 4 (𝐶 ∈ V → 𝐶 ≺ 𝒫 𝐶)
7 sdomdom 7745 . . . 4 (𝐶 ≺ 𝒫 𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
85, 6, 73syl 18 . . 3 (𝜑𝐶 ≼ 𝒫 𝐶)
9 domtr 7771 . . 3 ((𝐴𝐶𝐶 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
102, 8, 9syl2anc 690 . 2 (𝜑𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
11 gchaclem.3 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
1211adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐶 ∈ GCH)
13 gchaclem.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → ω ≼ 𝐴)
14 domtr 7771 . . . . . . . 8 ((ω ≼ 𝐴𝐴𝐶) → ω ≼ 𝐶)
1513, 2, 14syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → ω ≼ 𝐶)
1615adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → ω ≼ 𝐶)
17 pwcdaidm 8776 . . . . . 6 (ω ≼ 𝐶 → (𝒫 𝐶 +𝑐 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
1816, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶 +𝑐 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶)
19 simpr 475 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → 𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶)
20 gchdomtri 9206 . . . . 5 ((𝒫 𝐶 ∈ GCH ∧ (𝒫 𝐶 +𝑐 𝒫 𝐶) ≈ 𝒫 𝐶𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2112, 18, 19, 20syl3anc 1317 . . . 4 ((𝜑𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶) → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶))
2221ex 448 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶)))
23 pwdom 7873 . . . . 5 (𝐴𝐶 → 𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶)
24 domtr 7771 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ 𝒫 𝐶𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
2524ex 448 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
262, 23, 253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (𝒫 𝐶𝐵 → 𝒫 𝐴𝐵))
271simprd 477 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
2826, 27jaod 393 . . 3 (𝜑 → ((𝒫 𝐶𝐵𝐵 ≼ 𝒫 𝐶) → 𝒫 𝐴𝐵))
2922, 28syld 45 . 2 (𝜑 → (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵))
3010, 29jca 552 1 (𝜑 → (𝐴 ≼ 𝒫 𝐶 ∧ (𝐵 ≼ 𝒫 𝒫 𝐶 → 𝒫 𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  wcel 1938  Vcvv 3077  𝒫 cpw 4011   class class class wbr 4481  (class class class)co 6426  ωcom 6833  cen 7714  cdom 7715  csdm 7716   +𝑐 ccda 8748  GCHcgch 9197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-1o 7323  df-2o 7324  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-wdom 8223  df-card 8524  df-cda 8749  df-gch 9198
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator