Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icomnfinre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icomnfinre 39582
Description: A left-closed, right-open, interval of extended reals, intersected with the Reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
icomnfinre.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
icomnfinre (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))

Proof of Theorem icomnfinre
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10081 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ ∈ ℝ*)
3 icomnfinre.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 elinel2 3792 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
65adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
76mnfltd 11943 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → -∞ < 𝑥)
8 elinel1 3791 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
98adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞[,)𝐴))
102, 4, 9icoltubd 39575 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 < 𝐴)
112, 4, 6, 7, 10eliood 39523 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)) → 𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴))
1211ssd 39072 . 2 (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) ⊆ (-∞(,)𝐴))
13 ioossico 12247 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ⊆ (-∞[,)𝐴)
14 ioossre 12220 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
1513, 14ssini 3828 . . 3 (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ)
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → (-∞(,)𝐴) ⊆ ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ))
1712, 16eqssd 3612 1 (𝜑 → ((-∞[,)𝐴) ∩ ℝ) = (-∞(,)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cin 3566  wss 3567  (class class class)co 6635  cr 9920  -∞cmnf 10057  *cxr 10058  (,)cioo 12160  [,)cico 12162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-ioo 12164  df-ico 12166
This theorem is referenced by:  preimaioomnf  40692
  Copyright terms: Public domain W3C validator