MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscau2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscau2 23056
Description: Express the property "𝐹 is a Cauchy sequence of metric 𝐷," using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iscau2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑥,𝐷   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑋,𝑘,𝑥

Proof of Theorem iscau2
StepHypRef Expression
1 iscau 23055 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
2 elfvdm 6207 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 ∈ dom ∞Met)
3 cnex 10002 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
4 elpmg 7858 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ dom ∞Met ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
52, 3, 4sylancl 693 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ (Fun 𝐹𝐹 ⊆ (ℂ × 𝑋))))
65simprbda 652 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → Fun 𝐹)
7 ffvresb 6380 . . . . . . . 8 (Fun 𝐹 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
86, 7syl 17 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
98rexbidv 3048 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
109adantr 481 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
11 uzid 11687 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
1211adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑗))
13 eleq1 2687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑗 ∈ dom 𝐹))
14 fveq2 6178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑗))
1514eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)))
1613, 15anbi12d 746 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1716rspcv 3300 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
1812, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥))))
19 n0i 3912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → ¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
20 blf 22193 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋)
21 fdm 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ball‘𝐷):(𝑋 × ℝ*)⟶𝒫 𝑋 → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*))
23 ndmovg 6802 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) ∧ ¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅)
2423ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom (ball‘𝐷) = (𝑋 × ℝ*) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅))
2625con1d 139 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (¬ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) = ∅ → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*)))
27 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
2819, 26, 27syl56 36 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
2928adantld 483 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3029ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3118, 30syld 47 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3214eleq1d 2684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ↔ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
3314oveq1d 6650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)))
3433breq1d 4654 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
3513, 32, 343anbi123d 1397 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3635rspcv 3300 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑗) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
3712, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
38 simp2 1060 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋))
40 rpxr 11825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ*)
41 elbl 22174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
4240, 41syl3an3 1359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥)))
43 xmetsym 22133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
44433expa 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
45443adantl3 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) = ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)))
4645breq1d 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → (((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))
4746pm5.32da 672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑗)𝐷(𝐹𝑘)) < 𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
4842, 47bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
49483com23 1269 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5049anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
51 3anass 1040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5250, 51syl6bbr 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5352ralbidv 2983 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
54533expia 1265 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5554adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → ((𝐹𝑗) ∈ 𝑋 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
5631, 39, 55pm5.21ndd 369 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5756rexbidva 3045 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5857adantlr 750 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ ((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
5910, 58bitrd 268 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
6059ralbidva 2982 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥)))
6160pm5.32da 672 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶((𝐹𝑗)(ball‘𝐷)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
621, 61bitrd 268 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ ((𝐹𝑘)𝐷(𝐹𝑗)) < 𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907  𝒫 cpw 4149   class class class wbr 4644   × cxp 5102  dom cdm 5104  cres 5106  Fun wfun 5870  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  pm cpm 7843  cc 9919  *cxr 10058   < clt 10059  cz 11362  cuz 11672  +crp 11817  ∞Metcxmt 19712  ballcbl 19714  Caucca 23032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-neg 10254  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-bl 19722  df-cau 23035
This theorem is referenced by:  iscau3  23057  iscau4  23058  caun0  23060  caussi  23076
  Copyright terms: Public domain W3C validator