Theorem islindf3 20367

Description: In a nonzero ring, independent families can be equivalently characterized as renamings of independent sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
islindf3.l	⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islindf3	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Proof of Theorem islindf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		islindf3.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (Scalar‘𝑊)
3	1, 2	lindff1 20361	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
4	3	3expa 1112	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊))
5		ssv 3766	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) ⊆ V
6		f1ss 6267	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→(Base‘𝑊) ∧ (Base‘𝑊) ⊆ V) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
7	4, 5, 6	sylancl 697	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→V)
8		lindfrn 20362	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
9	8	adantlr 753	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
10	7, 9	jca 555	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ 𝐹 LIndF 𝑊) → (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊)))
11		simpll 807	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LMod)
12		simprr 813	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))
13		f1f1orn 6309	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹)
14		f1of1 6297	. . . . 5 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→ran 𝐹 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
16	15	ad2antrl 766	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹)
17		f1linds 20366	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊) ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1→ran 𝐹) → 𝐹 LIndF 𝑊)
18	11, 12, 16, 17	syl3anc 1477	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) ∧ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))) → 𝐹 LIndF 𝑊)
19	10, 18	impbida 913	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐿 ∈ NzRing) → (𝐹 LIndF 𝑊 ↔ (𝐹:dom 𝐹–1-1→V ∧ ran 𝐹 ∈ (LIndS‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ran crn 5267  –1-1→wf1 6046  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146  LModclmod 19065  NzRingcnzr 19459   LIndF clindf 20345  LIndSclinds 20346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-nzr 19460  df-lindf 20347  df-linds 20348

This theorem is referenced by:  aacllem  43060