Theorem islnr3 39735

Description: Relate left-Noetherian rings to Noetherian-type closure property of the left ideal system. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islnr3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
islnr3.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
islnr3	⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Proof of Theorem islnr3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islnr3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		islnr3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
3		eqid 2821	. . 3 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
4	1, 2, 3	islnr2 39734	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)))
5		eqid 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mrCls‘𝑈) = (mrCls‘𝑈)
6	2, 3, 5	mrcrsp 20000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (RSpan‘𝑅) = (mrCls‘𝑈))
7	6	fveq1d 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))
8	7	eqeq2d 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
9	8	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
10	9	ralbidv 3197	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
11	1, 2	lidlacs 19994	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑈 ∈ (ACS‘𝐵))
12	11	biantrurd 535	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
13	10, 12	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦))))
14	5	isnacs 39321	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵) ↔ (𝑈 ∈ (ACS‘𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((mrCls‘𝑈)‘𝑦)))
15	13, 14	syl6bbr 291	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦) ↔ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
16	15	pm5.32i 577	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ Fin)𝑥 = ((RSpan‘𝑅)‘𝑦)) ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))
17	4, 16	bitri 277	1 ⊢ (𝑅 ∈ LNoeR ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ (NoeACS‘𝐵)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ∩ cin 3935  𝒫 cpw 4539  ‘cfv 6355  Fincfn 8509  Basecbs 16483  mrClscmrc 16854  ACScacs 16856  Ringcrg 19297  LIdealclidl 19942  RSpancrsp 19943  NoeACScnacs 39319  LNoeRclnr 39729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-lidl 19946  df-rsp 19947  df-nacs 39320  df-lfig 39688  df-lnm 39696  df-lnr 39730

This theorem is referenced by:  hbt  39750