Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubrngd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubrngd2 19387
 Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
issubrngd.s (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
issubrngd.z (𝜑0 = (0g𝐼))
issubrngd.p (𝜑+ = (+g𝐼))
issubrngd.ss (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
issubrngd.zcl (𝜑0𝐷)
issubrngd.acl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.ncl ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
issubrngd.o (𝜑1 = (1r𝐼))
issubrngd.t (𝜑· = (.r𝐼))
issubrngd.ocl (𝜑1𝐷)
issubrngd.tcl ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
issubrngd.g (𝜑𝐼 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
issubrngd2 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, 0   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, · ,𝑦
Allowed substitution hints:   1 (𝑥,𝑦)

Proof of Theorem issubrngd2
StepHypRef Expression
1 issubrngd.s . . 3 (𝜑𝑆 = (𝐼s 𝐷))
2 issubrngd.z . . 3 (𝜑0 = (0g𝐼))
3 issubrngd.p . . 3 (𝜑+ = (+g𝐼))
4 issubrngd.ss . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ (Base‘𝐼))
5 issubrngd.zcl . . 3 (𝜑0𝐷)
6 issubrngd.acl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐷)
7 issubrngd.ncl . . 3 ((𝜑𝑥𝐷) → ((invg𝐼)‘𝑥) ∈ 𝐷)
8 issubrngd.g . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Ring)
9 ringgrp 18748 . . . 4 (𝐼 ∈ Ring → 𝐼 ∈ Grp)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Grp)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10issubgrpd2 17807 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼))
12 issubrngd.o . . 3 (𝜑1 = (1r𝐼))
13 issubrngd.ocl . . 3 (𝜑1𝐷)
1412, 13eqeltrrd 2836 . 2 (𝜑 → (1r𝐼) ∈ 𝐷)
15 issubrngd.t . . . . 5 (𝜑· = (.r𝐼))
1615oveqdr 6833 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(.r𝐼)𝑦))
17 issubrngd.tcl . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷𝑦𝐷) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
18173expb 1114 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐷)
1916, 18eqeltrrd 2836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐷𝑦𝐷)) → (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
2019ralrimivva 3105 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)
21 eqid 2756 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
22 eqid 2756 . . . 4 (1r𝐼) = (1r𝐼)
23 eqid 2756 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2421, 22, 23issubrg2 18998 . . 3 (𝐼 ∈ Ring → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
258, 24syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼) ↔ (𝐷 ∈ (SubGrp‘𝐼) ∧ (1r𝐼) ∈ 𝐷 ∧ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 (𝑥(.r𝐼)𝑦) ∈ 𝐷)))
2611, 14, 20, 25mpbir3and 1428 1 (𝜑𝐷 ∈ (SubRing‘𝐼))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  ∀wral 3046   ⊆ wss 3711  ‘cfv 6045  (class class class)co 6809  Basecbs 16055   ↾s cress 16056  +gcplusg 16139  .rcmulr 16140  0gc0g 16298  Grpcgrp 17619  invgcminusg 17620  SubGrpcsubg 17785  1rcur 18697  Ringcrg 18743  SubRingcsubrg 18974 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-er 7907  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-ndx 16058  df-slot 16059  df-base 16061  df-sets 16062  df-ress 16063  df-plusg 16152  df-mulr 16153  df-0g 16300  df-mgm 17439  df-sgrp 17481  df-mnd 17492  df-grp 17622  df-minusg 17623  df-subg 17788  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-subrg 18976 This theorem is referenced by:  rngunsnply  38241
 Copyright terms: Public domain W3C validator