Theorem ldual0 36315

Description: The zero scalar of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 28-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldual0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldual0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldual0.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldual0.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
ldual0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
ldual0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldual0	⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

Proof of Theorem ldual0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldual0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
3		ldual0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
4		ldual0.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝐷)
5		ldual0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	1, 2, 3, 4, 5	ldualsca 36300	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
7	6	fveq2d 6660	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘(oppr‘𝑅)))
8		ldual0.o	. 2 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝑆)
9		ldual0.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
10	2, 9	oppr0 19366	. 2 ⊢ 0 = (0g‘(oppr‘𝑅))
11	7, 8, 10	3eqtr4g 2881	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6341  Scalarcsca 16551  0_gc0g 16696  opp_rcoppr 19355  LModclmod 19617  LDualcld 36291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-n0 11885  df-z 11969  df-uz 12231  df-fz 12883  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-0g 16698  df-oppr 19356  df-ldual 36292

This theorem is referenced by:  ldual0vs  36328  lkreqN  36338  lkrlspeqN  36339  lclkrlem1  38674