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Theorem mzpincl 36812
Description: Polynomial closedness is a universal first-order property and passes to intersections. This is where the closure properties of the polynomial ring itself are proved. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpincl (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))

Proof of Theorem mzpincl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mzpval 36810 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) = (mzPolyCld‘𝑉))
2 mzpclall 36805 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
3 intss1 4462 . . . . 5 ((ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)))
5 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
6 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓 ∈ ℤ)
7 mzpcl1 36807 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
85, 6, 7syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
98ralrimiva 2961 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
10 ovex 6638 . . . . . . . . 9 (ℤ ↑𝑚 𝑉) ∈ V
11 snex 4874 . . . . . . . . 9 {𝑓} ∈ V
1210, 11xpex 6922 . . . . . . . 8 ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ V
1312elint2 4452 . . . . . . 7 (((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ 𝑎)
149, 13sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓 ∈ ℤ) → ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
1514ralrimiva 2961 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
16 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
17 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → 𝑓𝑉)
18 mzpcl2 36808 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
1916, 17, 18syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) ∧ 𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2019ralrimiva 2961 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2110mptex 6446 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ V
2221elint2 4452 . . . . . . 7 ((𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ 𝑎)
2320, 22sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑓𝑉) → (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2423ralrimiva 2961 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
2515, 24jca 554 . . . 4 (𝑉 ∈ V → (∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
26 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
2726elint2 4452 . . . . . . . 8 (𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎)
28 vex 3192 . . . . . . . . 9 𝑔 ∈ V
2928elint2 4452 . . . . . . . 8 (𝑔 (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎)
30 mzpcl34 36809 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
31303expib 1265 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉) → ((𝑓𝑎𝑔𝑎) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎)))
3231ralimia 2945 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) → ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
33 r19.26 3058 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑎𝑔𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎))
34 r19.26 3058 . . . . . . . . 9 (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
3532, 33, 343imtr3i 280 . . . . . . . 8 ((∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑓𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)𝑔𝑎) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
3627, 29, 35syl2anb 496 . . . . . . 7 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
37 ovex 6638 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ V
3837elint2 4452 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎)
39 ovex 6638 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ V
4039elint2 4452 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎)
4138, 40anbi12i 732 . . . . . . 7 (((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ↔ (∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ 𝑎 ∧ ∀𝑎 ∈ (mzPolyCld‘𝑉)(𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ 𝑎))
4236, 41sylibr 224 . . . . . 6 ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
4342a1i 11 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → ((𝑓 (mzPolyCld‘𝑉) ∧ 𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)) → ((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))
4443ralrimivv 2965 . . . 4 (𝑉 ∈ V → ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))
454, 25, 44jca32 557 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)))))
46 elmzpcl 36804 . . 3 (𝑉 ∈ V → ( (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ↔ ( (mzPolyCld‘𝑉) ⊆ (ℤ ↑𝑚 (ℤ ↑𝑚 𝑉)) ∧ ((∀𝑓 ∈ ℤ ((ℤ ↑𝑚 𝑉) × {𝑓}) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ ∀𝑓𝑉 (𝑔 ∈ (ℤ ↑𝑚 𝑉) ↦ (𝑔𝑓)) ∈ (mzPolyCld‘𝑉)) ∧ ∀𝑓 (mzPolyCld‘𝑉)∀𝑔 (mzPolyCld‘𝑉)((𝑓𝑓 + 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉) ∧ (𝑓𝑓 · 𝑔) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))))))
4745, 46mpbird 247 . 2 (𝑉 ∈ V → (mzPolyCld‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
481, 47eqeltrd 2698 1 (𝑉 ∈ V → (mzPoly‘𝑉) ∈ (mzPolyCld‘𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  wss 3559  {csn 4153   cint 4445  cmpt 4678   × cxp 5077  cfv 5852  (class class class)co 6610  𝑓 cof 6855  𝑚 cmap 7809   + caddc 9891   · cmul 9893  cz 11329  mzPolyCldcmzpcl 36799  mzPolycmzp 36800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-mzpcl 36801  df-mzp 36802
This theorem is referenced by:  mzpconst  36813  mzpproj  36815  mzpadd  36816  mzpmul  36817
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