Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem3N 34061
Description: Lemma for osumclN 34070. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem3N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N
StepHypRef Expression
1 incom 3762 . 2 (( 𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( 𝑋))
2 osumcllem.u . . . . 5 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
3 simp1 1053 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3 1055 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
5 osumcllem.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 osumcllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
75, 6psubclssatN 34044 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌𝐴)
873adant3 1073 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . . 11 = (⊥𝑃𝐾)
105, 9polssatN 34011 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
113, 8, 10syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
124, 11sstrd 3573 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐴)
13 osumcllem.p . . . . . . . . 9 + = (+𝑃𝐾)
145, 13, 9poldmj1N 34031 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
153, 12, 8, 14syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
16 incom 3762 . . . . . . 7 (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋))
1715, 16syl6eq 2655 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋)))
1817fveq2d 6088 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
192, 18syl5eq 2651 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑈 = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
2019ineq1d 3770 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)))
215, 9polcon2N 34022 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
228, 21syld3an2 1364 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
235, 9poml5N 34057 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
243, 12, 22, 23syl3anc 1317 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
259, 6psubcli2N 34042 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
26253adant3 1073 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
2720, 24, 263eqtrd 2643 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = 𝑌)
281, 27syl5eq 2651 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cin 3534  wss 3535  {csn 4120  cfv 5786  (class class class)co 6523  lecple 15717  joincjn 16709  Atomscatm 33367  HLchlt 33454  +𝑃cpadd 33898  𝑃cpolN 34005  PSubClcpscN 34037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-riotaBAD 33056
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-undef 7259  df-preset 16693  df-poset 16711  df-plt 16723  df-lub 16739  df-glb 16740  df-join 16741  df-meet 16742  df-p0 16804  df-p1 16805  df-lat 16811  df-clat 16873  df-oposet 33280  df-ol 33282  df-oml 33283  df-covers 33370  df-ats 33371  df-atl 33402  df-cvlat 33426  df-hlat 33455  df-psubsp 33606  df-pmap 33607  df-padd 33899  df-polarityN 34006  df-psubclN 34038
This theorem is referenced by:  osumcllem9N  34067
  Copyright terms: Public domain W3C validator