MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5uzti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem peano5uzti 11296
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑥

Proof of Theorem peano5uzti
StepHypRef Expression
1 eleq1 2672 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁𝐴 ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴))
21anbi1d 736 . . 3 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴)))
3 breq1 4577 . . . . 5 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (𝑁𝑘 ↔ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘))
43rabbidv 3160 . . . 4 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} = {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘})
54sseq1d 3591 . . 3 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → ({𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴 ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴))
62, 5imbi12d 332 . 2 (𝑁 = if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) → (((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴) ↔ ((if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)))
7 1z 11237 . . . 4 1 ∈ ℤ
87elimel 4096 . . 3 if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ ℤ
98peano5uzi 11295 . 2 ((if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ if(𝑁 ∈ ℤ, 𝑁, 1) ≤ 𝑘} ⊆ 𝐴)
106, 9dedth 4085 1 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 + 1) ∈ 𝐴) → {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑁𝑘} ⊆ 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  {crab 2896  wss 3536  ifcif 4032   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  1c1 9790   + caddc 9792  cle 9928  cz 11207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208
This theorem is referenced by:  uzind  11298
  Copyright terms: Public domain W3C validator