MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlipf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phlipf 19991
Description: The inner product operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffn.1 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipffn.2 , = (·if𝑊)
phlipf.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
phlipf.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
phlipf (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

Proof of Theorem phlipf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlipf.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2621 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
3 ipffn.1 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 phlipf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑆)
51, 2, 3, 4ipcl 19972 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
653expb 1265 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
76ralrimivva 2970 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
8 ipffn.2 . . . 4 , = (·if𝑊)
93, 2, 8ipffval 19987 . . 3 , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
109fmpt2 7234 . 2 (∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾, :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)
117, 10sylib 208 1 (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1482  wcel 1989  wral 2911   × cxp 5110  wf 5882  cfv 5886  (class class class)co 6647  Basecbs 15851  Scalarcsca 15938  ·𝑖cip 15940  PreHilcphl 19963  ·ifcipf 19964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-ghm 17652  df-lmhm 19016  df-sra 19166  df-rgmod 19167  df-phl 19965  df-ipf 19966
This theorem is referenced by:  ipcn  23039
  Copyright terms: Public domain W3C validator