MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip2eq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ip2eq 19938
Description: Two vectors are equal iff their inner products with all other vectors are equal. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ip2eq.h , = (·𝑖𝑊)
ip2eq.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ip2eq ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥, ,   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Proof of Theorem ip2eq
StepHypRef Expression
1 oveq2 6623 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
21ralrimivw 2963 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵))
3 phllmod 19915 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
4 ip2eq.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2621 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
64, 5lmodvsubcl 18848 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
73, 6syl3an1 1356 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉)
8 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴))
9 oveq1 6622 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → (𝑥 , 𝐵) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵))
108, 9eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑥 = (𝐴(-g𝑊)𝐵) → ((𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
1110rspcv 3295 . . . 4 ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉 → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
127, 11syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
13 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ PreHil)
14 simp2 1060 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐴𝑉)
15 simp3 1061 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
16 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17 ip2eq.h . . . . . . . 8 , = (·𝑖𝑊)
18 eqid 2621 . . . . . . . 8 (-g‘(Scalar‘𝑊)) = (-g‘(Scalar‘𝑊))
1916, 17, 4, 5, 18ipsubdi 19928 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉𝐵𝑉)) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2013, 7, 14, 15, 19syl13anc 1325 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
2120eqeq1d 2623 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
22 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
23 eqid 2621 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2416, 17, 4, 22, 23ipeq0 19923 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2513, 7, 24syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , (𝐴(-g𝑊)𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2621, 25bitr3d 270 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊)))
2733ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2816lmodfgrp 18812 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3116, 17, 4, 30ipcl 19918 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐴𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3213, 7, 14, 31syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3316, 17, 4, 30ipcl 19918 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴(-g𝑊)𝐵) ∈ 𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3413, 7, 15, 33syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3530, 22, 18grpsubeq0 17441 . . . . 5 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
3629, 32, 34, 35syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴)(-g‘(Scalar‘𝑊))((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵)))
37 lmodgrp 18810 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
383, 37syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ Grp)
394, 23, 5grpsubeq0 17441 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4038, 39syl3an1 1356 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴(-g𝑊)𝐵) = (0g𝑊) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4126, 36, 403bitr3d 298 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐴) = ((𝐴(-g𝑊)𝐵) , 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))
4212, 41sylibd 229 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
432, 42impbid2 216 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥𝑉 (𝑥 , 𝐴) = (𝑥 , 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  Scalarcsca 15884  ·𝑖cip 15886  0gc0g 16040  Grpcgrp 17362  -gcsg 17364  LModclmod 18803  PreHilcphl 19909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-tpos 7312  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-mhm 17275  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-ghm 17598  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-oppr 18563  df-rnghom 18655  df-staf 18785  df-srng 18786  df-lmod 18805  df-lmhm 18962  df-lvec 19043  df-sra 19112  df-rgmod 19113  df-phl 19911
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator