Theorem pidlnz 30943

Description: A principal ideal generated by a nonzero element is not the zero ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pidlnz.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pidlnz.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
pidlnz.3	⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pidlnz	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Proof of Theorem pidlnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑅 ∈ Ring)
2		simpl2 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		pidlnz.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		pidlnz.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (RSpan‘𝑅)
5	3, 4	rspsnid 30942	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
6	1, 2, 5	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ∈ (𝐾‘{𝑋}))
7		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
8	6, 7	eleqtrd 2913	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ∈ { 0 })
9		elsni 4558	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ { 0 } → 𝑋 = 0 )
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 = 0 )
11		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
12	11	neneqd 3011	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 }) → ¬ 𝑋 = 0 )
13	10, 12	pm2.65da 815	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ¬ (𝐾‘{𝑋}) = { 0 })
14	13	neqned 3013	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐾‘{𝑋}) ≠ { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  {csn 4541  ‘cfv 6329  Basecbs 16459  0_gc0g 16689  Ringcrg 19273  RSpancrsp 19916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-om 7557  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-er 8265  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-ress 16467  df-plusg 16554  df-mulr 16555  df-sca 16557  df-vsca 16558  df-ip 16559  df-0g 16691  df-mgm 17828  df-sgrp 17877  df-mnd 17888  df-grp 18082  df-subg 18252  df-mgp 19216  df-ur 19228  df-ring 19275  df-subrg 19506  df-lmod 19609  df-lss 19677  df-lsp 19717  df-sra 19917  df-rgmod 19918  df-rsp 19920

This theorem is referenced by: (None)