Theorem prdsvscaval 16262

Description: Scalar multiplication in a structure product is pointwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
prdsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
prdsvscaval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prdsvscaval	⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌

Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem prdsvscaval

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2		prdsvscaval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
3		prdsvscaval.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Fn 𝐼)
4		prdsvscaval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fnex 6597	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
6	3, 4, 5	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
7		prdsbasmpt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8		fndm 6103	. . . 4 ⊢ (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
9	3, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10		prdsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11		prdsvscaval.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑌)
12	1, 2, 6, 7, 9, 10, 11	prdsvsca 16243	. 2 ⊢ (𝜑 → · = (𝑦 ∈ 𝐾, 𝑧 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)))))
13		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐹 → 𝑦 = 𝐹)
14		fveq1 6303	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐺 → (𝑧‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
15	13, 14	oveqan12d 6784	. . . 4 ⊢ ((𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
16	15	adantl 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥)))
17	16	mpteq2dv 4853	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹 ∧ 𝑧 = 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝑧‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
18		prdsvscaval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐾)
19		prdsvscaval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
20		mptexg 6600	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
21	4, 20	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
22	12, 17, 18, 19, 21	ovmpt2d 6905	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ↦ cmpt 4837  dom cdm 5218   Fn wfn 5996  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980   ·_𝑠 cvsca 16068  X_scprds 16229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-prds 16231

This theorem is referenced by:  prdsvscafval  16263  pwsvscafval  16277  xpsvsca  16362  prdsvscacl  19091  prdslmodd  19092