Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsvscaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsvscaval 16262
 Description: Scalar multiplication in a structure product is pointwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
prdsbasmpt.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsvscaval.t · = ( ·𝑠𝑌)
prdsvscaval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
prdsvscaval.s (𝜑𝑆𝑉)
prdsvscaval.i (𝜑𝐼𝑊)
prdsvscaval.r (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
prdsvscaval.f (𝜑𝐹𝐾)
prdsvscaval.g (𝜑𝐺𝐵)
Assertion
Ref Expression
prdsvscaval (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑥,𝑊   𝑥,𝑌
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem prdsvscaval
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt.y . . 3 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
2 prdsvscaval.s . . 3 (𝜑𝑆𝑉)
3 prdsvscaval.r . . . 4 (𝜑𝑅 Fn 𝐼)
4 prdsvscaval.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑊)
5 fnex 6597 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
63, 4, 5syl2anc 696 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ V)
7 prdsbasmpt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑌)
8 fndm 6103 . . . 4 (𝑅 Fn 𝐼 → dom 𝑅 = 𝐼)
93, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝑅 = 𝐼)
10 prdsvscaval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
11 prdsvscaval.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑌)
121, 2, 6, 7, 9, 10, 11prdsvsca 16243 . 2 (𝜑· = (𝑦𝐾, 𝑧𝐵 ↦ (𝑥𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑧𝑥)))))
13 id 22 . . . . 5 (𝑦 = 𝐹𝑦 = 𝐹)
14 fveq1 6303 . . . . 5 (𝑧 = 𝐺 → (𝑧𝑥) = (𝐺𝑥))
1513, 14oveqan12d 6784 . . . 4 ((𝑦 = 𝐹𝑧 = 𝐺) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑧𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1615adantl 473 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹𝑧 = 𝐺)) → (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑧𝑥)) = (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥)))
1716mpteq2dv 4853 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦 = 𝐹𝑧 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝑧𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
18 prdsvscaval.f . 2 (𝜑𝐹𝐾)
19 prdsvscaval.g . 2 (𝜑𝐺𝐵)
20 mptexg 6600 . . 3 (𝐼𝑊 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ V)
214, 20syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))) ∈ V)
2212, 17, 18, 19, 21ovmpt2d 6905 1 (𝜑 → (𝐹 · 𝐺) = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹( ·𝑠 ‘(𝑅𝑥))(𝐺𝑥))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103  Vcvv 3304   ↦ cmpt 4837  dom cdm 5218   Fn wfn 5996  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Basecbs 15980   ·𝑠 cvsca 16068  Xscprds 16229 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-fz 12441  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-hom 16089  df-cco 16090  df-prds 16231 This theorem is referenced by:  prdsvscafval  16263  pwsvscafval  16277  xpsvsca  16362  prdsvscacl  19091  prdslmodd  19092
 Copyright terms: Public domain W3C validator