Theorem prodge0rd 12497

Description: Infer that a multiplicand is nonnegative from a positive multiplier and nonnegative product. (Contributed by NM, 2-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) (Revised by AV, 9-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodge0rd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
prodge0rd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
prodge0rd.3	⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
prodge0rd	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem prodge0rd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10644	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		prodge0rd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		prodge0rd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
4	3	rpred 12432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5	4, 2	remulcld 10671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
6		prodge0rd.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝐴 · 𝐵))
7	1, 5, 6	lensymd 10791	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐴 · 𝐵) < 0)
8	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
9	2	renegcld 11067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -𝐵 ∈ ℝ)
10	9	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → -𝐵 ∈ ℝ)
11	3	rpgt0d 12435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
12	11	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < 𝐴)
13		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -𝐵)
14	8, 10, 12, 13	mulgt0d 10795	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < (𝐴 · -𝐵))
15	4	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
17	2	recnd 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
18	17	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
19	16, 18	mulneg2d 11094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
20	14, 19	breqtrd 5092	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < -𝐵) → 0 < -(𝐴 · 𝐵))
21	20	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 < -𝐵 → 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
22	2	lt0neg1d 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 ↔ 0 < -𝐵))
23	5	lt0neg1d 11209	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
24	21, 22, 23	3imtr4d 296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 0 → (𝐴 · 𝐵) < 0))
25	7, 24	mtod 200	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
26	1, 2, 25	nltled 10790	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676  -cneg 10871  ℝ⁺crp 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-po 5474  df-so 5475  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-rp 12391

This theorem is referenced by:  prodge0ld  12498  oexpneg  15694  evennn02n  15699  nvge0  28450  oexpnegALTV  43891