MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt0neg1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt0neg1d 10449
Description: Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
leidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
lt0neg1d (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))

Proof of Theorem lt0neg1d
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 lt0neg1 10386 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wcel 1977   class class class wbr 4578  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  -cneg 10119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121
This theorem is referenced by:  recgt0  10719  prodge0  10722  expneg  12688  discr1  12820  rlimrege0  14107  bitsfzo  14944  subgmulg  17380  xrhmeo  22501  mbfmulc2lem  23165  mbfposr  23170  dvferm2lem  23498  dvferm2  23499  sincosq4sgn  24002  tanabsge  24007  sinq34lt0t  24010  tanord  24033  argimlt0  24108  logdmnrp  24132  dvloglem  24139  atanlogsub  24388  atantan  24395  lgsdilem  24794  ostth3  25072  sgnmul  29725  elpell14qr2  36238  jm2.24  36342  mulltgt0  37998  lt0neg1dd  38343  fourierdlem43  38837  fourierdlem44  38838  fourierdlem92  38885  fourierdlem109  38902
  Copyright terms: Public domain W3C validator