Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvge0 27416
 Description: The norm of a normed complex vector space is nonnegative. Second part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvge0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvge0.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvge0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))

Proof of Theorem nvge0
StepHypRef Expression
1 nvge0.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 nvge0.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
31, 2nvcl 27404 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℝ)
4 2re 11050 . . 3 2 ∈ ℝ
53, 4jctil 559 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℝ))
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
76, 2nvz0 27411 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
87adantr 481 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(0vec𝑈)) = 0)
9 1pneg1e0 11089 . . . . . . . . . 10 (1 + -1) = 0
109oveq1i 6625 . . . . . . . . 9 ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (0( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)
11 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
121, 11, 6nv0 27380 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = (0vec𝑈))
1310, 12syl5req 2668 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0vec𝑈) = ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))
14 neg1cn 11084 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
15 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
16 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
171, 16, 11nvdir 27374 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
1815, 17mp3anr1 1418 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋)) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
1914, 18mpanr1 718 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1 + -1)( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
201, 11nvsid 27370 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) = 𝐴)
2120oveq1d 6630 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
2213, 19, 213eqtrd 2659 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0vec𝑈) = (𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)))
2322fveq2d 6162 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(0vec𝑈)) = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
248, 23eqtr3d 2657 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 = (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
251, 11nvscl 27369 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
2614, 25mp3an2 1409 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋)
271, 16, 2nvtri 27413 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋 ∧ (-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
2826, 27mpd3an3 1422 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(𝐴( +𝑣𝑈)(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
2924, 28eqbrtrd 4645 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))))
301, 11, 2nvm1 27408 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴)) = (𝑁𝐴))
3130oveq2d 6631 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐴)))
323recnd 10028 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁𝐴) ∈ ℂ)
33322timesd 11235 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (2 · (𝑁𝐴)) = ((𝑁𝐴) + (𝑁𝐴)))
3431, 33eqtr4d 2658 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) + (𝑁‘(-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐴))) = (2 · (𝑁𝐴)))
3529, 34breqtrd 4649 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (2 · (𝑁𝐴)))
36 2pos 11072 . . 3 0 < 2
3735, 36jctil 559 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · (𝑁𝐴))))
38 prodge0 10830 . 2 (((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐴) ∈ ℝ) ∧ (0 < 2 ∧ 0 ≤ (2 · (𝑁𝐴)))) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
395, 37, 38syl2anc 692 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 0 ≤ (𝑁𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  ℝcr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034   ≤ cle 10035  -cneg 10227  2c2 11030  NrmCVeccnv 27327   +𝑣 cpv 27328  BaseSetcba 27329   ·𝑠OLD cns 27330  0veccn0v 27331  normCVcnmcv 27333 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-grpo 27235  df-gid 27236  df-ginv 27237  df-ablo 27287  df-vc 27302  df-nv 27335  df-va 27338  df-ba 27339  df-sm 27340  df-0v 27341  df-nmcv 27343 This theorem is referenced by:  nvgt0  27417  smcnlem  27440  ipnm  27454  nmooge0  27510  nmoub3i  27516  siilem1  27594  siii  27596  ubthlem3  27616  minvecolem1  27618  minvecolem5  27625  minvecolem6  27626  htthlem  27662
 Copyright terms: Public domain W3C validator