MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulneg2d 10336
Description: Product with negative is negative of product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
mulnegd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulneg2d (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulneg2d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 mulnegd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 mulneg2 10319 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
41, 2, 3syl2anc 691 1 (𝜑 → (𝐴 · -𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  (class class class)co 6527  cc 9791   · cmul 9798  -cneg 10119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-sub 10120  df-neg 10121
This theorem is referenced by:  prodge0  10722  expmulz  12726  discr  12821  sincossq  14694  oexpneg  14856  mulgass  17351  mulgmodid  17353  zringlpirlem3  19602  pjthlem1  22961  dvfsum2  23546  vieta1  23816  advlogexp  24146  logccv  24154  cxpmul2z  24182  abscxpbnd  24239  isosctrlem3  24295  dcubic1lem  24315  mcubic  24319  amgmlem  24461  ftalem5  24548  pntrlog2bndlem2  25012  brbtwn2  25531  colinearalglem4  25535  pjhthlem1  27428  fwddifnp1  31236  areacirclem1  32464  pellexlem6  36210  pell1234qrreccl  36230  pell14qrdich  36245  rmxyneg  36297  rmxm1  36311  ltmulneg  38350  cosknegpi  38546  itgsinexplem1  38639  dirkerper  38783  sqwvfoura  38915  etransclem46  38967  fmtnorec3  39793  oexpnegALTV  39921  oexpnegnz  39922  2zrngagrp  41725  amgmwlem  42310
  Copyright terms: Public domain W3C validator