Theorem r1elwf 8603

Description: Any member of the cumulative hierarchy is well-founded. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1elwf	⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem r1elwf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 8573	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
2	1	simpri 478	. . . . 5 ⊢ Lim dom 𝑅1
3		limord 5743	. . . . 5 ⊢ (Lim dom 𝑅1 → Ord dom 𝑅1)
4		ordsson 6936	. . . . 5 ⊢ (Ord dom 𝑅1 → dom 𝑅1 ⊆ On)
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . . 4 ⊢ dom 𝑅1 ⊆ On
6		elfvdm 6177	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom 𝑅1)
7	5, 6	sseldi 3581	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐵 ∈ On)
8		r1tr 8583	. . . . . 6 ⊢ Tr (𝑅1‘𝐵)
9		trss 4721	. . . . . 6 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵))
11		elpwg 4138	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑅1‘𝐵)))
12	10, 11	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
13		r1sucg 8576	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → (𝑅1‘suc 𝐵) = 𝒫 (𝑅1‘𝐵))
15	12, 14	eleqtrrd 2701	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵))
16		suceq 5749	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → suc 𝑥 = suc 𝐵)
17	16	fveq2d 6152	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑅1‘suc 𝑥) = (𝑅1‘suc 𝐵))
18	17	eleq2d 2684	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥) ↔ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)))
19	18	rspcev 3295	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
20	7, 15, 19	syl2anc 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
21		rankwflemb 8600	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴 ∈ (𝑅1‘suc 𝑥))
22	20, 21	sylibr 224	1 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908   ⊆ wss 3555  𝒫 cpw 4130  ∪ cuni 4402  Tr wtr 4712  dom cdm 5074   “ cima 5077  Ord word 5681  Oncon0 5682  Lim wlim 5683  suc csuc 5684  Fun wfun 5841  ‘cfv 5847  𝑅₁cr1 8569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-r1 8571

This theorem is referenced by:  rankr1ai  8605  pwwf  8614  sswf  8615  unwf  8617  uniwf  8626  rankonidlem  8635  r1pw  8652  r1pwcl  8654  rankr1id  8669  tcrank  8691  dfac12lem2  8910  r1limwun  9502  r1wunlim  9503  inatsk  9544