Theorem recextlem2 10696

Description: Lemma for recex 10697. (Contributed by Eric Schmidt, 23-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
recextlem2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Proof of Theorem recextlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = (i · 0))
2		ax-icn 10033	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
3	2	mul01i 10264	. . . . . . . . 9 ⊢ (i · 0) = 0
4	1, 3	syl6eq 2701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (i · 𝐵) = 0)
5		oveq12 6699	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ (i · 𝐵) = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
6	4, 5	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (0 + 0))
7		00id 10249	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 0) = 0
8	6, 7	syl6eq 2701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = 0)
9	8	necon3ai 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
10		neorian 2917	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0) ↔ ¬ (𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0))
11	9, 10	sylibr 224	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0 → (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0))
12		remulcl 10059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
13	12	anidms 678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ)
14		remulcl 10059	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
15	14	anidms 678	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
17	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
18		msqgt0 10586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (𝐴 · 𝐴))
19		msqge0 10587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))
20	18, 19	anim12i 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
21	20	an32s 863	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵)))
22		addgtge0 10554	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 < (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 ≤ (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
23	17, 21, 22	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
24	16	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ))
25		msqge0 10587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴 · 𝐴))
26		msqgt0 10586	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < (𝐵 · 𝐵))
27	25, 26	anim12i 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
28	27	anassrs 681	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵)))
29		addgegt0 10553	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐵) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝐴 · 𝐴) ∧ 0 < (𝐵 · 𝐵))) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
30	24, 28, 29	syl2anc 694	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
31	23, 30	jaodan 843	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∨ 𝐵 ≠ 0)) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
32	11, 31	sylan2 490	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
33	32	3impa 1278	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → 0 < ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)))
34	33	gt0ne0d 10630	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + (i · 𝐵)) ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) + (𝐵 · 𝐵)) ≠ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  ici 9976   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307

This theorem is referenced by:  recex  10697