Theorem reuprpr 43759

Description: There is a unique proper unordered pair fulfilling a wff iff there are uniquely two different sets fulfilling a corresponding wff. (Contributed by AV, 30-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
reupr.a	⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
reupr.x	⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
reuprpr	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Distinct variable groups:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝑋,𝑎,𝑏,𝑝,𝑥,𝑦   𝜓,𝑎,𝑏,𝑥,𝑦   𝜃,𝑝   𝜒,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑝)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem reuprpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprsprreu 43755	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓)))
2		fveqeq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
3		hashprg 13753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ V ∧ 𝑏 ∈ V) → (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2))
4	3	el2v 3498	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑏 ↔ (♯‘{𝑎, 𝑏}) = 2)
5	2, 4	syl6bbr 291	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏))
6		reupr.a	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (𝜓 ↔ 𝜒))
7	5, 6	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑎, 𝑏} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒)))
8		fveqeq2 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
9		hashprg 13753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2))
10	9	el2v 3498	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (♯‘{𝑥, 𝑦}) = 2)
11	8, 10	syl6bbr 291	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → ((♯‘𝑝) = 2 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦))
12		reupr.x	. . . 4 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (𝜓 ↔ 𝜃))
13	11, 12	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑝 = {𝑥, 𝑦} → (((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃)))
14	7, 13	reupr 43758	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairs‘𝑋)((♯‘𝑝) = 2 ∧ 𝜓) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
15		df-3an 1084	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
16	15	bicomi 226	. . . 4 ⊢ (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})))
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
18	17	2rexbidv 3299	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏})) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))
19	1, 14, 18	3bitrd 307	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (∃!𝑝 ∈ (Pairsproper‘𝑋)𝜓 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ 𝑋 (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝜒 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝜃) → {𝑥, 𝑦} = {𝑎, 𝑏}))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3015  ∀wral 3137  ∃wrex 3138  ∃!wreu 3139  Vcvv 3491  {cpr 4562  ‘cfv 6348  2c2 11686  ♯chash 13687  Pairscspr 43713  Pairs_propercprpr 43748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-dju 9323  df-card 9361  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12890  df-hash 13688  df-spr 43714  df-prpr 43749

This theorem is referenced by: (None)