MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashprg 13122
Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
2 elsni 4165 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
32eqcomd 2627 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
43necon3ai 2815 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5 snfi 7982 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
6 hashunsng 13121 . . . . . . 7 (𝐵𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1)))
76imp 445 . . . . . 6 ((𝐵𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
85, 7mpanr1 718 . . . . 5 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
91, 4, 8syl2an 494 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
10 hashsng 13099 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)
1110adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (#‘{𝐴}) = 1)
1211adantr 481 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘{𝐴}) = 1)
1312oveq1d 6619 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → ((#‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
149, 13eqtrd 2655 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15 df-pr 4151 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1615fveq2i 6151 . . 3 (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17 df-2 11023 . . 3 2 = (1 + 1)
1814, 16, 173eqtr4g 2680 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19 1ne2 11184 . . . . . . 7 1 ≠ 2
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 1 ≠ 2)
2111, 20eqnetrd 2857 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (#‘{𝐴}) ≠ 2)
22 dfsn2 4161 . . . . . . . 8 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23 preq2 4239 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
2422, 23syl5req 2668 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2524fveq2d 6152 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘{𝐴}))
2625neeq1d 2849 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (#‘{𝐴}) ≠ 2))
2721, 26syl5ibrcom 237 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
2827necon2d 2813 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴𝐵))
2928imp 445 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴𝐵)
3018, 29impbida 876 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cun 3553  {csn 4148  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  1c1 9881   + caddc 9883  2c2 11014  #chash 13057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-hash 13058
This theorem is referenced by:  hashprb  13125  prhash2ex  13127  hashfun  13164  hash2exprb  13191  nehash2  13194  hashtpg  13205  elss2prb  13207  wrdlen2i  13620  isnzr2hash  19183  dchrisum0re  25102  upgrex  25883  umgrbi  25891  usgr1e  26030  usgrexmplef  26044  cusgrexilem2  26225  cusgrfilem1  26238  umgr2v2e  26307  vdegp1bi  26319  eulerpathpr  26966  coinflipprob  30319  subfacp1lem1  30866  poimirlem9  33047  fourierdlem54  39681  fourierdlem102  39729  fourierdlem103  39730  fourierdlem104  39731  fourierdlem114  39741
  Copyright terms: Public domain W3C validator