Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmdvdsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmdvdsr 29946
Description: A ring homomorphism preserves the divisibility relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmdvdsr.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
rhmdvdsr.m = (∥r𝑅)
rhmdvdsr.n / = (∥r𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmdvdsr (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) / (𝐹𝐵))

Proof of Theorem rhmdvdsr
Dummy variables 𝑦 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
2 simpl2 1085 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐴𝑋)
3 rhmdvdsr.x . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝑅)
4 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
53, 4rhmf 18774 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝑋⟶(Base‘𝑆))
65ffvelrnda 6399 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
71, 2, 6syl2anc 694 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆))
8 simpll1 1120 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
9 simpr 476 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝑋)
105ffvelrnda 6399 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
118, 9, 10syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
1211ralrimiva 2995 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∀𝑐𝑋 (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆))
132adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → 𝐴𝑋)
14 eqid 2651 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
15 eqid 2651 . . . . . . . 8 (.r𝑆) = (.r𝑆)
163, 14, 15rhmmul 18775 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝑐𝑋𝐴𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
178, 9, 13, 16syl3anc 1366 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
1817ralrimiva 2995 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
19 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → 𝐴 𝐵)
20 rhmdvdsr.m . . . . . . . 8 = (∥r𝑅)
213, 20, 14dvdsr2 18693 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵))
2221biimpac 502 . . . . . 6 ((𝐴 𝐵𝐴𝑋) → ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
2319, 2, 22syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
24 r19.29 3101 . . . . . 6 ((∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵))
25 simpl 472 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
26 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵)
2726fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = (𝐹𝐵))
2825, 27eqtr3d 2687 . . . . . . 7 (((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
2928reximi 3040 . . . . . 6 (∃𝑐𝑋 ((𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3024, 29syl 17 . . . . 5 ((∀𝑐𝑋 (𝐹‘(𝑐(.r𝑅)𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) ∧ ∃𝑐𝑋 (𝑐(.r𝑅)𝐴) = 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3118, 23, 30syl2anc 694 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
32 r19.29 3101 . . . 4 ((∀𝑐𝑋 (𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
3312, 31, 32syl2anc 694 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
34 oveq1 6697 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐹𝑐) → (𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)))
3534eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑦 = (𝐹𝑐) → ((𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
3635rspcev 3340 . . . 4 (((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3736rexlimivw 3058 . . 3 (∃𝑐𝑋 ((𝐹𝑐) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ((𝐹𝑐)(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
3833, 37syl 17 . 2 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵))
39 rhmdvdsr.n . . 3 / = (∥r𝑆)
404, 39, 15dvdsr 18692 . 2 ((𝐹𝐴) / (𝐹𝐵) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∃𝑦 ∈ (Base‘𝑆)(𝑦(.r𝑆)(𝐹𝐴)) = (𝐹𝐵)))
417, 38, 40sylanbrc 699 1 (((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ 𝐴 𝐵) → (𝐹𝐴) / (𝐹𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  rcdsr 18684   RingHom crh 18760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mhm 17382  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-dvdsr 18687  df-rnghom 18763
This theorem is referenced by:  elrhmunit  29948
  Copyright terms: Public domain W3C validator