MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf 18495
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 18494 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2 rhmf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rhmf.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
42, 3ghmf 17433 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
51, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641   GrpHom cghm 17426   RingHom crh 18481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-plusg 15727  df-0g 15871  df-mhm 17104  df-ghm 17427  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-rnghom 18484
This theorem is referenced by:  rhmf1o  18501  kerf1hrm  18512  srngf1o  18623  evlslem6  19280  evlslem3  19281  evlslem1  19282  evlseu  19283  mpfconst  19297  mpfproj  19298  mpfsubrg  19299  mpfind  19303  evls1val  19452  evls1sca  19455  evl1val  19460  fveval1fvcl  19464  evl1addd  19472  evl1subd  19473  evl1muld  19474  evl1expd  19476  pf1const  19477  pf1id  19478  pf1subrg  19479  mpfpf1  19482  pf1mpf  19483  pf1ind  19486  mulgrhm2  19611  chrrhm  19643  domnchr  19644  znf1o  19664  znidomb  19674  ply1remlem  23643  ply1rem  23644  fta1glem1  23646  fta1glem2  23647  fta1g  23648  fta1blem  23649  plypf1  23689  dchrzrhmul  24688  lgsqrlem1  24788  lgsqrlem2  24789  lgsqrlem3  24790  lgseisenlem3  24819  lgseisenlem4  24820  rhmdvdsr  28955  rhmopp  28956  rhmdvd  28958  kerunit  28960  mdetlap  29032  pl1cn  29135  zrhunitpreima  29156  elzrhunit  29157  qqhval2lem  29159  qqhf  29164  qqhghm  29166  qqhrhm  29167  qqhnm  29168  idomrootle  36595  elringchom  41808  rhmsscmap2  41813  rhmsscmap  41814  rhmsubcsetclem2  41816  rhmsubcrngclem2  41822  ringcsect  41825  ringcinv  41826  funcringcsetc  41829  funcringcsetcALTV2lem8  41837  funcringcsetcALTV2lem9  41838  elringchomALTV  41843  ringcinvALTV  41850  funcringcsetclem8ALTV  41860  funcringcsetclem9ALTV  41861  zrtermoringc  41864  rhmsubclem4  41883
  Copyright terms: Public domain W3C validator