MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmf 18774
Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rhmf (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem rhmf
StepHypRef Expression
1 rhmghm 18773 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2 rhmf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 rhmf.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
42, 3ghmf 17711 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
51, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904   GrpHom cghm 17704   RingHom crh 18760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mhm 17382  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-rnghom 18763
This theorem is referenced by:  rhmf1o  18780  kerf1hrm  18791  srngf1o  18902  evlslem6  19561  evlslem3  19562  evlslem1  19563  evlseu  19564  mpfconst  19578  mpfproj  19579  mpfsubrg  19580  mpfind  19584  evls1val  19733  evls1sca  19736  evl1val  19741  fveval1fvcl  19745  evl1addd  19753  evl1subd  19754  evl1muld  19755  evl1expd  19757  pf1const  19758  pf1id  19759  pf1subrg  19760  mpfpf1  19763  pf1mpf  19764  pf1ind  19767  mulgrhm2  19895  chrrhm  19927  domnchr  19928  znf1o  19948  znidomb  19958  ply1remlem  23967  ply1rem  23968  fta1glem1  23970  fta1glem2  23971  fta1g  23972  fta1blem  23973  plypf1  24013  dchrzrhmul  25016  lgsqrlem1  25116  lgsqrlem2  25117  lgsqrlem3  25118  lgseisenlem3  25147  lgseisenlem4  25148  rhmdvdsr  29946  rhmopp  29947  rhmdvd  29949  kerunit  29951  mdetlap  30026  pl1cn  30129  zrhunitpreima  30150  elzrhunit  30151  qqhval2lem  30153  qqhf  30158  qqhghm  30160  qqhrhm  30161  qqhnm  30162  idomrootle  38090  elringchom  42339  rhmsscmap2  42344  rhmsscmap  42345  rhmsubcsetclem2  42347  rhmsubcrngclem2  42353  ringcsect  42356  ringcinv  42357  funcringcsetc  42360  funcringcsetcALTV2lem8  42368  funcringcsetcALTV2lem9  42369  elringchomALTV  42374  ringcinvALTV  42381  funcringcsetclem8ALTV  42391  funcringcsetclem9ALTV  42392  zrtermoringc  42395  rhmsubclem4  42414
  Copyright terms: Public domain W3C validator