Theorem rhmf 19471

Description: A ring homomorphism is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
rhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem rhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rhmghm 19470	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
2		rhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4	2, 3	ghmf 18355	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  Basecbs 16476   GrpHom cghm 18348   RingHom crh 19457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-plusg 16571  df-0g 16708  df-mhm 17949  df-ghm 18349  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-rnghom 19460

This theorem is referenced by:  rhmf1o  19477  kerf1hrmOLD  19491  rnrhmsubrg  19560  srngf1o  19618  evlslem3  20286  evlslem6  20287  evlslem1  20288  evlseu  20289  mpfconst  20307  mpfproj  20308  mpfsubrg  20309  mpfind  20313  evls1val  20476  evls1sca  20479  evl1val  20485  fveval1fvcl  20489  evl1addd  20497  evl1subd  20498  evl1muld  20499  evl1expd  20501  pf1const  20502  pf1id  20503  pf1subrg  20504  mpfpf1  20507  pf1mpf  20508  pf1ind  20511  mulgrhm2  20639  chrrhm  20671  domnchr  20672  znf1o  20691  znidomb  20701  ply1remlem  24752  ply1rem  24753  fta1glem1  24755  fta1glem2  24756  fta1g  24757  fta1blem  24758  plypf1  24798  dchrzrhmul  25818  lgsqrlem1  25918  lgsqrlem2  25919  lgsqrlem3  25920  lgseisenlem3  25949  lgseisenlem4  25950  rhmdvdsr  30910  rhmopp  30911  rhmdvd  30913  kerunit  30915  mdetlap  31119  pl1cn  31217  zrhunitpreima  31238  elzrhunit  31239  qqhval2lem  31241  qqhf  31246  qqhghm  31248  qqhrhm  31249  qqhnm  31250  selvval2lem4  39213  selvcl  39215  idomrootle  39872  elringchom  44355  rhmsscmap2  44360  rhmsscmap  44361  rhmsubcsetclem2  44363  rhmsubcrngclem2  44369  ringcsect  44372  ringcinv  44373  funcringcsetc  44376  funcringcsetcALTV2lem8  44384  funcringcsetcALTV2lem9  44385  elringchomALTV  44390  ringcinvALTV  44397  funcringcsetclem8ALTV  44407  funcringcsetclem9ALTV  44408  zrtermoringc  44411  rhmsubclem4  44430