MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringadd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringadd2 18341
Description: A ring element plus itself is two times the element. (Contributed by Steve Rodriguez, 9-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Dec-2013.) (Revised by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringadd2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringadd2.p + = (+g𝑅)
ringadd2.t · = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringadd2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑥𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑋   𝑥, ·
Allowed substitution hint:   + (𝑥)

Proof of Theorem ringadd2
StepHypRef Expression
1 ringadd2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringadd2.t . . 3 · = (.r𝑅)
31, 2ringid 18340 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑥𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋))
4 oveq12 6533 . . . . . . 7 (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑥 · 𝑋) = 𝑋) → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
54anidms 674 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
65eqcomd 2612 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
7 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
8 simpr 475 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
9 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑋𝐵)
10 ringadd2.p . . . . . . . 8 + = (+g𝑅)
111, 10, 2ringdir 18333 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑥𝐵𝑥𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
127, 8, 8, 9, 11syl13anc 1319 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋)))
1312eqeq2d 2616 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋) ↔ (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 · 𝑋) + (𝑥 · 𝑋))))
146, 13syl5ibr 234 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
1514adantrd 482 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
1615reximdva 2996 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (∃𝑥𝐵 ((𝑥 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 𝑥) = 𝑋) → ∃𝑥𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋)))
173, 16mpd 15 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑥𝐵 (𝑋 + 𝑋) = ((𝑥 + 𝑥) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2893  cfv 5787  (class class class)co 6524  Basecbs 15638  +gcplusg 15711  .rcmulr 15712  Ringcrg 18313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-plusg 15724  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator