MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringelnzr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringelnzr 19185
Description: A ring is nonzero if it has a nonzero element. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringelnzr.z 0 = (0g𝑅)
ringelnzr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringelnzr ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem ringelnzr
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
2 eldifsni 4289 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
32adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋0 )
4 eldifi 3710 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋𝐵)
54adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑋𝐵)
6 ringelnzr.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 ringelnzr.z . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
86, 7ring0cl 18490 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
98adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 0𝐵)
10 eqid 2621 . . . . . 6 (1r𝑅) = (1r𝑅)
116, 10, 7ring1eq0 18511 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((1r𝑅) = 0𝑋 = 0 ))
121, 5, 9, 11syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → ((1r𝑅) = 0𝑋 = 0 ))
1312necon3d 2811 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑋0 → (1r𝑅) ≠ 0 ))
143, 13mpd 15 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (1r𝑅) ≠ 0 )
1510, 7isnzr 19178 . 2 (𝑅 ∈ NzRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (1r𝑅) ≠ 0 ))
161, 14, 15sylanbrc 697 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ NzRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  {csn 4148  cfv 5847  Basecbs 15781  0gc0g 16021  1rcur 18422  Ringcrg 18468  NzRingcnzr 19176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-nzr 19177
This theorem is referenced by:  frlmlbs  20055  ply1nz  23785
  Copyright terms: Public domain W3C validator