Theorem ring0cl 19319

Description: The zero element of a ring belongs to its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ring0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring0cl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ring0cl	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ring0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringgrp 19302	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
2		ring0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		ring0cl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	2, 3	grpidcl 18131	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  0_gc0g 16713  Grpcgrp 18103  Ringcrg 19297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-grp 18106  df-ring 19299

This theorem is referenced by:  dvdsr01  19405  dvdsr02  19406  irredn0  19453  f1rhm0to0OLD  19493  cntzsubr  19568  abv0  19602  abvtrivd  19611  lmod0cl  19660  lmod0vs  19667  lmodvs0  19668  lpi0  20020  isnzr2  20036  isnzr2hash  20037  ringelnzr  20039  0ring  20043  01eq0ring  20045  ringen1zr  20050  psr1cl  20182  mvrf  20204  mplmon  20244  mplmonmul  20245  mplcoe1  20246  evlslem3  20293  coe1z  20431  coe1tmfv2  20443  ply1scl0  20458  ply1scln0  20459  gsummoncoe1  20472  frlmphllem  20924  frlmphl  20925  uvcvvcl2  20932  uvcff  20935  mamumat1cl  21048  dmatsubcl  21107  dmatmulcl  21109  scmatscmiddistr  21117  marrepcl  21173  mdetr0  21214  mdetunilem8  21228  mdetunilem9  21229  maducoeval2  21249  maduf  21250  madutpos  21251  madugsum  21252  marep01ma  21269  smadiadetlem4  21278  smadiadetglem2  21281  1elcpmat  21323  m2cpminv0  21369  decpmataa0  21376  monmatcollpw  21387  pmatcollpw3fi1lem1  21394  pmatcollpw3fi1lem2  21395  chfacfisf  21462  cphsubrglem  23781  mdegaddle  24668  ply1divex  24730  facth1  24758  fta1blem  24762  abvcxp  26191  qsidomlem2  30966  lfl0sc  36233  lflsc0N  36234  baerlem3lem1  38858  selvval2lem4  39156  frlmpwfi  39718  zrrnghm  44208  zlidlring  44219  cznrng  44246  linc0scn0  44498  linc1  44500