Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnglz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglz 41672
Description: The zero of a nonunital ring is a left-absorbing element. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t · = (.r𝑅)
rnglz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rnglz ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem rnglz
StepHypRef Expression
1 rngabl 41665 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablgrp 17963 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
4 rngcl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 rnglz.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
64, 5grpidcl 17215 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
7 eqid 2605 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
84, 7, 5grplid 17217 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
96, 8mpdan 698 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
103, 9syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
1110adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
1211oveq1d 6538 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
13 simpl 471 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
143, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → 0𝐵)
1514, 14jca 552 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → ( 0𝐵0𝐵))
1615anim1i 589 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0𝐵0𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
17 df-3an 1032 . . . . 5 (( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵) ↔ (( 0𝐵0𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
1816, 17sylibr 222 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵))
19 rngcl.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
204, 7, 19rngdir 41670 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
2113, 18, 20syl2anc 690 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
223adantr 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2314adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
24 simpr 475 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
254, 19rngcl 41671 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2613, 23, 24, 25syl3anc 1317 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
274, 7, 5grprid 17218 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
2827eqcomd 2611 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
2922, 26, 28syl2anc 690 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
3012, 21, 293eqtr3d 2647 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
314, 7grplcan 17242 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
3222, 26, 23, 26, 31syl13anc 1319 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
3330, 32mpbid 220 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  Basecbs 15637  +gcplusg 15710  .rcmulr 15711  0gc0g 15865  Grpcgrp 17187  Abelcabl 17959  Rngcrng 41662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-2 10922  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-plusg 15723  df-0g 15867  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-rng0 41663
This theorem is referenced by:  zrrnghm  41705
  Copyright terms: Public domain W3C validator