Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnglz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglz 41649
Description: The zero of a nonunital ring is a left-absorbing element. (Contributed by AV, 17-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngcl.t · = (.r𝑅)
rnglz.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rnglz ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )

Proof of Theorem rnglz
StepHypRef Expression
1 rngabl 41642 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Abel)
2 ablgrp 18179 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Abel → 𝑅 ∈ Grp)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
4 rngcl.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
5 rnglz.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑅)
64, 5grpidcl 17431 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
7 eqid 2620 . . . . . . . 8 (+g𝑅) = (+g𝑅)
84, 7, 5grplid 17433 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 0𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
96, 8mpdan 701 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
103, 9syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Rng → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
1110adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (+g𝑅) 0 ) = 0 )
1211oveq1d 6650 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = ( 0 · 𝑋))
13 simpl 473 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Rng)
143, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Rng → 0𝐵)
1514, 14jca 554 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → ( 0𝐵0𝐵))
1615anim1i 591 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0𝐵0𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
17 df-3an 1038 . . . . 5 (( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵) ↔ (( 0𝐵0𝐵) ∧ 𝑋𝐵))
1816, 17sylibr 224 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵))
19 rngcl.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
204, 7, 19rngdir 41647 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ ( 0𝐵0𝐵𝑋𝐵)) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
2113, 18, 20syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (+g𝑅) 0 ) · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)))
223adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
2314adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
24 simpr 477 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
254, 19rngcl 41648 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2613, 23, 24, 25syl3anc 1324 . . . 4 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)
274, 7, 5grprid 17434 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) = ( 0 · 𝑋))
2827eqcomd 2626 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
2922, 26, 28syl2anc 692 . . 3 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
3012, 21, 293eqtr3d 2662 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ))
314, 7grplcan 17458 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵0𝐵 ∧ ( 0 · 𝑋) ∈ 𝐵)) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
3222, 26, 23, 26, 31syl13anc 1326 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ((( 0 · 𝑋)(+g𝑅)( 0 · 𝑋)) = (( 0 · 𝑋)(+g𝑅) 0 ) ↔ ( 0 · 𝑋) = 0 ))
3330, 32mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 · 𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  cfv 5876  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  +gcplusg 15922  .rcmulr 15923  0gc0g 16081  Grpcgrp 17403  Abelcabl 18175  Rngcrng 41639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-2 11064  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-plusg 15935  df-0g 16083  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-grp 17406  df-minusg 17407  df-abl 18177  df-mgp 18471  df-rng0 41640
This theorem is referenced by:  zrrnghm  41682
  Copyright terms: Public domain W3C validator