MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grprid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grprid 17369
Description: The identity element of a group is a right identity. (Contributed by NM, 18-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grplid.p + = (+g𝐺)
grplid.o 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grprid ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grprid
StepHypRef Expression
1 grpmnd 17345 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
2 grpbn0.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grplid.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 grplid.o . . 3 0 = (0g𝐺)
52, 3, 4mndrid 17228 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
61, 5sylan 488 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  cfv 5850  (class class class)co 6605  Basecbs 15776  +gcplusg 15857  0gc0g 16016  Mndcmnd 17210  Grpcgrp 17338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-0g 16018  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341
This theorem is referenced by:  grprcan  17371  grpinvid1  17386  grpinvid2  17387  grpidinv2  17390  grpasscan2  17395  grpidrcan  17396  grpsubid1  17416  grpsubadd  17419  grppncan  17422  mulgaddcom  17480  mulgdirlem  17488  mulgmodid  17497  nmzsubg  17551  0nsg  17555  cntzsubg  17685  cayleylem2  17749  odbezout  17891  lsmdisj2  18011  pj1lid  18030  frgpuplem  18101  abladdsub4  18135  odadd2  18168  gex2abl  18170  ringlz  18503  isabvd  18736  lmod0vrid  18810  lmodfopne  18817  islmhm2  18952  mplcoe1  19379  lsmcss  19950  mdetero  20330  mdetunilem6  20337  opnsubg  21816  tgpconncompeqg  21820  snclseqg  21824  clmvz  22814  deg1add  23762  ogrpaddltbi  29496  ogrpinvlt  29501  archiabllem2a  29525  archiabllem2c  29526  lflmul  33821  cdlemn4  35953  mapdh6cN  36493  hdmap1l6c  36568  hdmapinvlem3  36678  hdmapinvlem4  36679  hdmapglem7b  36686  rnglz  41145
  Copyright terms: Public domain W3C validator